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Progressão geométrica (ITA)

Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Sex Mar 07, 2008 13:27

Boa tarde!

Qual é a solução geral da equação

sen^2x+sen^4x+sen^6x+sen^8x+sen^{10}x=5
?

Resposta: \{x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n.\pi, n \in Z\}

Bom, usando a soma de termos finitos obtive:

5(1-sen^2x)=sen^2x(1-sen^{10}x)

5\frac{cos^2x}{sen^2x}=cos^{10}x

\frac{5}{sen^2x}=cos^{8}x

Desse ponto não enxerguei mais nada...
Mas olhando a equação vi que senx só pode ser 1 ou -1, já que a soma de 5 termos elevados a expoentes pares deu 5.
Gostara de saber como resolver essa equação...
Grata desde já!

Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 02:30

Olá Ananda!

Também há um outro colaborador pensando em sua dúvida.
Enquanto isso, verifique sua passagem.
1-sen^{10}x \neq cos^{10}x

Como exemplo da continuação da soma de termos, eu encontrei:

5cotg^2x = 1 - sen^{10}x

Até mais.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 10:23

Bom dia!
É diferente porque entra naquela resolução com binômio, né?
Vou tentar hoje resolver novamente para ver se enxergo algo novo!
Grata!
Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 11:38

Bom dia, Ananda.

Então, eu percebi que você considerou igual, mas a relação fundamental da trigonometria é:
sen^2x + cos^2x = 1

Esta igualdade é falsa:
sen^{10}x + cos^{10}x = 1


Eu também já desenvolvi este binômio do terceiro membro, mas não obtive sucesso na simplificação da equação:
\left( sen^2x \right)^5 = sen^{10}x = \left( 1 - cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:05

Ananda, uma outra forma que pensei para lidar com este expoente 10, é utilizar esta redução de potência, seguida pela expansão binomial:

sen^{10}x = \left( sen^2x \right)^5 = \left( \frac{1-cos2x}{2} \right)^5

E quando as potências em cosseno aparecerem, utilizar esta outra redução:

cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2}

Pois
cos^5\theta = \left( cos^2\theta \right)^2 \cdot cos\theta

Mas este processo é desanimador, ainda prefiro tentar buscar um caminho melhor.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:39

Partindo do que tinhas colocado anteriormente:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=\left(1-cos^2x \right)^5

E que:

sen^2x=1-cos^2x

Está certo considerar:

5cos^2x=\left(1-cos^2x \right)^6

Certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:42

Se bem que na prova real não daria certo...
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:43

Opa, dá sim!
Cos tem que ser zero, certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:45

Ananda, como
sen^{10}x = \left(1-cos^2x \right)^5

Acho que você quis partir daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:46

Exatamente!
E eu me enrolei com a prova real e por fim, vi que estava dando:
0 = 1
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:51

OK, mas a simplificação não está evidente, mesmo partindo daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:55

Partindo daí, só cheguei a:

6cos^2x-1 = - \left(1-cos^2x \right)^6
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 14:09

O que dá uma equação de grau 6 em cos^2x.

Mas, partindo de outro desenvolvimento, eu já tinha obtido outra equação de grau 6 em sen^2x:
sen^{12}x - 6sen^2x + 5 = 0

Fazendo uma substituição: t = sen^2x

t^6 - 6t + 5 = 0
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 14:29

E como se resolveria isso?
Em programa de função, acho a resposta, mas como se faz no lápis?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 15:31

Não há uma forma genérica para resolução de equações de grau 6.

Estou utilizando a inequação:
-1 \leq senx \leq 1

E que:
0 \leq sen^2x \leq 1

Logo, sendo:
f(t) = t^6 -6t + 5

0 \leq dom f \leq 1

f(0) = 5

f(1) = 0 (raiz no domínio)

E utilizando argumentos do cálculo, estudando a primeira e segunda derivadas de f no domínio, garantimos que f é côncava para cima e decrescente no intervalo [0, 1], portanto, t=1 é a única raiz.

Então,

t = sen^2x = 1

\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

\left| senx \right| = 1

senx = \pm 1

\Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \math{Z}

Mas ainda vale tentar outra solução sem recorrer ao cálculo para justificar.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 15:38

Hmmm, grata...
De qualquer modo, a resolução desse exercício foi mais uma "curiosidade", já que não pretendo prestar ITA.
Mas conseguindo fazer todos ou quase todos os exercícios de cada capítulo, acredito que estarei mais apta a fazer as provas das faculdades que prestarei.
Mais uma vez, grata!
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Qua Mar 12, 2008 16:46

Olá Ananda, boa tarde!

Hoje pensei em um modo mais simples de fazer, sem argumentos do cálculo, utilizando o fato de o conjunto imagem da função seno ser limitado entre -1 e 1 e as definições da progressão geométrica, veja:

Nossa PG: (sen^2x, sen^4x, sen^6x, sen^8x, sen^{10}x)
Com primeiro termo: sen^2x
E razão: sen^2x

Tal que S_5 = 5 (soma dos 5 primeiros termos)



A conjunto imagem da função seno é limitado:
-1 \leq senx \leq 1

Como o quadrado de um número real nunca é negativo, segue que:
0 \leq sen^2x \leq 1


Considerando a razão que é sen^2x, vamos listar todas as possibilidades de classificação desta PG:

Caso I) Se sen^2x = 0
Implicaria uma PG constante com termos nulos.

Caso II) Se 0 < sen^2x < 1
Implicaria uma PG decrescente com cada termo menor que o anterior.

Caso III) Se sen^2x = 1
Implicaria uma PG constante com termos iguais e não nulos.


Agora, analisemos cada caso:

Caso I) Não convém, pois teríamos:
PG = (0, 0, 0, 0, 0)
Com S_5 = 0.

Caso II) Como 0 < sen^2x < 1
Segue que:
0 < sen^4x < 1
0 < sen^6x < 1
0 < sen^8x < 1
0 < sen^{10}x < 1

E então:

0 + 0 + 0 + 0 + 0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 1 + 1 + 1 + 1 + 1

0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 5

Que também não convém, pois teríamos: 0 < S_5 < 5


Caso III) É o caso restante.
Tanto que para sen^2x = 1, vale a equação trigonométrica da soma de termos da PG:

sen^2x + sen^2x \cdot sen^2x + sen^2x \cdot (sen^2x)^2 + sen^2x \cdot (sen^2x)^3  + sen^2x \cdot (sen^2x)^4 = 5

Logo, de fato, sen^2x = 1.

E segue que:
\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

|senx| = 1

senx = 1 ou senx = -1

Portanto, o conjunto-solução é:

S = \left\{ x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n\in\math{Z} \right\}
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 13, 2008 11:10

Bom dia, Fábio!
Grata pela resolução mais prática!
Fico alegre de por enquanto estar sem novas dúvidas!
Grata mais uma vez!
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.