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Progressão geométrica (ITA)

Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Sex Mar 07, 2008 13:27

Boa tarde!

Qual é a solução geral da equação

sen^2x+sen^4x+sen^6x+sen^8x+sen^{10}x=5
?

Resposta: \{x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n.\pi, n \in Z\}

Bom, usando a soma de termos finitos obtive:

5(1-sen^2x)=sen^2x(1-sen^{10}x)

5\frac{cos^2x}{sen^2x}=cos^{10}x

\frac{5}{sen^2x}=cos^{8}x

Desse ponto não enxerguei mais nada...
Mas olhando a equação vi que senx só pode ser 1 ou -1, já que a soma de 5 termos elevados a expoentes pares deu 5.
Gostara de saber como resolver essa equação...
Grata desde já!

Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 02:30

Olá Ananda!

Também há um outro colaborador pensando em sua dúvida.
Enquanto isso, verifique sua passagem.
1-sen^{10}x \neq cos^{10}x

Como exemplo da continuação da soma de termos, eu encontrei:

5cotg^2x = 1 - sen^{10}x

Até mais.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 10:23

Bom dia!
É diferente porque entra naquela resolução com binômio, né?
Vou tentar hoje resolver novamente para ver se enxergo algo novo!
Grata!
Ananda
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 11:38

Bom dia, Ananda.

Então, eu percebi que você considerou igual, mas a relação fundamental da trigonometria é:
sen^2x + cos^2x = 1

Esta igualdade é falsa:
sen^{10}x + cos^{10}x = 1


Eu também já desenvolvi este binômio do terceiro membro, mas não obtive sucesso na simplificação da equação:
\left( sen^2x \right)^5 = sen^{10}x = \left( 1 - cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:05

Ananda, uma outra forma que pensei para lidar com este expoente 10, é utilizar esta redução de potência, seguida pela expansão binomial:

sen^{10}x = \left( sen^2x \right)^5 = \left( \frac{1-cos2x}{2} \right)^5

E quando as potências em cosseno aparecerem, utilizar esta outra redução:

cos^2\theta = \frac{1+cos2\theta}{2}

Pois
cos^5\theta = \left( cos^2\theta \right)^2 \cdot cos\theta

Mas este processo é desanimador, ainda prefiro tentar buscar um caminho melhor.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:39

Partindo do que tinhas colocado anteriormente:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=\left(1-cos^2x \right)^5

E que:

sen^2x=1-cos^2x

Está certo considerar:

5cos^2x=\left(1-cos^2x \right)^6

Certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:42

Se bem que na prova real não daria certo...
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:43

Opa, dá sim!
Cos tem que ser zero, certo?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:45

Ananda, como
sen^{10}x = \left(1-cos^2x \right)^5

Acho que você quis partir daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:46

Exatamente!
E eu me enrolei com a prova real e por fim, vi que estava dando:
0 = 1
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 13:51

OK, mas a simplificação não está evidente, mesmo partindo daqui:
5\frac{cos^2x}{sen^2x}=1 - \left(1-cos^2x \right)^5
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 13:55

Partindo daí, só cheguei a:

6cos^2x-1 = - \left(1-cos^2x \right)^6
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 14:09

O que dá uma equação de grau 6 em cos^2x.

Mas, partindo de outro desenvolvimento, eu já tinha obtido outra equação de grau 6 em sen^2x:
sen^{12}x - 6sen^2x + 5 = 0

Fazendo uma substituição: t = sen^2x

t^6 - 6t + 5 = 0
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 14:29

E como se resolveria isso?
Em programa de função, acho a resposta, mas como se faz no lápis?
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Seg Mar 10, 2008 15:31

Não há uma forma genérica para resolução de equações de grau 6.

Estou utilizando a inequação:
-1 \leq senx \leq 1

E que:
0 \leq sen^2x \leq 1

Logo, sendo:
f(t) = t^6 -6t + 5

0 \leq dom f \leq 1

f(0) = 5

f(1) = 0 (raiz no domínio)

E utilizando argumentos do cálculo, estudando a primeira e segunda derivadas de f no domínio, garantimos que f é côncava para cima e decrescente no intervalo [0, 1], portanto, t=1 é a única raiz.

Então,

t = sen^2x = 1

\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

\left| senx \right| = 1

senx = \pm 1

\Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k\in \math{Z}

Mas ainda vale tentar outra solução sem recorrer ao cálculo para justificar.
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Seg Mar 10, 2008 15:38

Hmmm, grata...
De qualquer modo, a resolução desse exercício foi mais uma "curiosidade", já que não pretendo prestar ITA.
Mas conseguindo fazer todos ou quase todos os exercícios de cada capítulo, acredito que estarei mais apta a fazer as provas das faculdades que prestarei.
Mais uma vez, grata!
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor admin » Qua Mar 12, 2008 16:46

Olá Ananda, boa tarde!

Hoje pensei em um modo mais simples de fazer, sem argumentos do cálculo, utilizando o fato de o conjunto imagem da função seno ser limitado entre -1 e 1 e as definições da progressão geométrica, veja:

Nossa PG: (sen^2x, sen^4x, sen^6x, sen^8x, sen^{10}x)
Com primeiro termo: sen^2x
E razão: sen^2x

Tal que S_5 = 5 (soma dos 5 primeiros termos)



A conjunto imagem da função seno é limitado:
-1 \leq senx \leq 1

Como o quadrado de um número real nunca é negativo, segue que:
0 \leq sen^2x \leq 1


Considerando a razão que é sen^2x, vamos listar todas as possibilidades de classificação desta PG:

Caso I) Se sen^2x = 0
Implicaria uma PG constante com termos nulos.

Caso II) Se 0 < sen^2x < 1
Implicaria uma PG decrescente com cada termo menor que o anterior.

Caso III) Se sen^2x = 1
Implicaria uma PG constante com termos iguais e não nulos.


Agora, analisemos cada caso:

Caso I) Não convém, pois teríamos:
PG = (0, 0, 0, 0, 0)
Com S_5 = 0.

Caso II) Como 0 < sen^2x < 1
Segue que:
0 < sen^4x < 1
0 < sen^6x < 1
0 < sen^8x < 1
0 < sen^{10}x < 1

E então:

0 + 0 + 0 + 0 + 0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 1 + 1 + 1 + 1 + 1

0 < sen^2x + sen^4x + sen^6x + sen^8x + sen^{10}x < 5

Que também não convém, pois teríamos: 0 < S_5 < 5


Caso III) É o caso restante.
Tanto que para sen^2x = 1, vale a equação trigonométrica da soma de termos da PG:

sen^2x + sen^2x \cdot sen^2x + sen^2x \cdot (sen^2x)^2 + sen^2x \cdot (sen^2x)^3  + sen^2x \cdot (sen^2x)^4 = 5

Logo, de fato, sen^2x = 1.

E segue que:
\sqrt{sen^2x} = \sqrt{1}

|senx| = 1

senx = 1 ou senx = -1

Portanto, o conjunto-solução é:

S = \left\{ x \in \Re | x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n\in\math{Z} \right\}
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Re: Progressão geométrica (ITA)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 13, 2008 11:10

Bom dia, Fábio!
Grata pela resolução mais prática!
Fico alegre de por enquanto estar sem novas dúvidas!
Grata mais uma vez!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?