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Progressão Aritmética

Progressão Aritmética

Mensagempor tonypenizollo » Sex Jul 18, 2014 15:23

Se ( 3 - x , x , raiz quadrada de 9 - x ) é uma progressão aritmética, seu 6° termo é ?

Estou com dúvida na parte da álgebra.
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor Russman » Sex Jul 18, 2014 15:47

A progressão é \left \{ 3-x,x,\sqrt{9-x} \right \} ?
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor tonypenizollo » Sex Jul 18, 2014 16:01

Simm !
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor Russman » Sex Jul 18, 2014 17:01

Em uma P.A. de 3 termos \left \{ a_1,a_2,a_3 \right \} é verdade que, se r for sua razão,

a_2 = a_1 + r
a_3 = a_2+r

Assim, como r=r, temos

a_2 - a_1 = a_3 - a_2

de onde

a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}

Ou seja, o termo central é a média aritmética simples dos termos adjacentes!! Podemos usar isto. Aplicando ao problema, vem que

x = \frac{3-x+\sqrt{9-x}}{2}

Temos uma equação pra x. Tente resolver. Eu calculei x = \frac{17}{9}.
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor tonypenizollo » Sex Jul 18, 2014 17:08

Isso eu já sei, mas eu queria ver a resolução da parte que você calculou. Estou com dificuldade na álgebra.
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor Russman » Sex Jul 18, 2014 17:26

Parece difícil, mas não é. Da direita, basta passar o 2 multiplicando, o -x somando e o 3 subtraindo. Ou seja,

x=\frac{3-x+\sqrt{9-x}}{2} \Rightarrow 3x-3=\sqrt{9-x}

Agora, elevando ambos membros ao quadrado você se livra da raiz quadrada.

\left (3x-3  \right )^2=\left (\sqrt{9-x}  \right )^2\Rightarrow 9x^2-18x+9=9-x \Rightarrow 9x^2 - 17x=0

A equação obtida é de 2° grau e voc~e pode resolver pela fórmula aquela. Ou, basta notar que é possível fatorar um x.

9x^2 - 17x=0 \Rightarrow x(9x-17)=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
x=0\\ 
x=\frac{17}{9}
\end{matrix}\right.

Se x=0, a P.A. é \left \{ 3,0,-3 \right \}. Repare que escolhemos a raíz negativa de \sqrt{9-x} já que para ir de 3 a 0 é necessário subtrair 3 de 3. Assim, para calcular o 3° termo precisamos também subtrair 3 de 0 que dá -3.

Se x= \frac{17}{9} a P.A. é \left \{ \frac{10}{9},\frac{17}{9},\frac{8}{3} \right \}. Aqui, a razão é positiva.
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Re: Progressão Aritmética

Mensagempor tonypenizollo » Sex Jul 18, 2014 17:55

Agora sim eu entendi. Obrigado ! Ajudou bastante.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}