PG - PA

[kotta]

Olá, poderia me ajudar com este exercício?
(UFMG-97- ADAPTADA)Três números reais positivos a,b, c satisfazem o sistema abc={3}^{9}[/tex]
a+b+c=117[/tex]

Além disso, eles estão em progressão geometrica, isto é, existe um número real R tal que b+aR e c=bR.
Determine todos os possíveis valores de R e os correspondentes valores de a,b,c.

[admin]

Condições:






estão em progressão geométrica, com razão :




Vamos reescrever o sistema de equações, utilizando a informação sobre P.G.:

agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas

De :



Substituindo em :









Vamos resolver esta equação do segundo grau:








ou


Para e as condições atendidas, teremos que:



Para :




Caso tenham outra resolução, comentários ou correções, escrevam.
Espero ter ajudado.

[kotta]

Olá, uma nova questão de PA E PG, não estou conseguindo ver uma maneira direta pra resolver.
Estava pensando em encontrar o valor de com o valor da razão que foi dado, mas simplesmente não consigo. A questão é a seguinte.
(UFMG - 2002) Os números a,b, c, nessa ordem estão em progressão geométrica de razão . Além disso, a-1, b, c, nessa ordem, estão em progressão aritmética a, b, c.

Eu estava tentando resolver assim:

e lembrando da teoria de PG que diz: b=a*r

mas qdo vou resolver nada.
\frac{4}{3}= \frac{b}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*r}{a}
\frac{4}{3}=\frac{a*4/3}{a}
simplifico, cortando a com a e fico com valores que eu ja tenho, ou seja, r=\frac{4}{3}e volto a ficar sem saber o valor de a.
Será que podem me ajudar?
Estou completamente perdida com a mtemática, e isso é só o começo. rsrs

Abs.

[admin]

Olá kotta.
É importante comentar as tentativas, mesmo que não tenham sido produtivas.

Resolvi o exercício no papel, mas antes de postar aqui, seguem algumas dicas:

1) Como a razão da P.G. é dada, você já pode escrever os 3 termos desta P.G. em função de , ou seja:
P.G.

2) Analogamente, faça o mesmo para a P.A:
P.A.

3) Agora, para resolver, note o seguinte:
Na P.G., a razão é um valor constante, sendo o quociente entre um termo e seu antecessor.
Já na P.A., a razão também é constante, sendo a diferença entre um termo e seu antecessor.
Então, aplique este conceito de razão de P.A. à nossa P.A. acima, igualando a diferença do segundo termo pelo primeiro, com a diferença do terceiro pelo segundo termo.
Fazendo assim, nesta igualdade, você terá uma equação do primeiro grau, com uma única variável que é exatamente o primeiro termo , e você poderá encontrá-lo.
Conseqüentemente, poderá substituí-lo para encontrar e que estão em função de .

Você deve encontrar estes valores:
, e .
Nota: para conferir, teste os valores e verá que satisfazem as progressões citadas.

[admin]

Como os comentários se anteciparam, segue a resolução com poucas palavras:

Do enunciado, temos as seguintes progressões:
P.G. (com razão )

P.A. (a razão ainda não sabemos)


O primeiro passo é reescrever a progressão geométrica, considerando a razão informada:




P.G.

Utilizando então e em função de , também reescrevemos a progressão aritmética:
P.A.

Seja a razão da P.A., então:


E também:


Daqui, obtemos que:












Logo:

E apenas para citar, como já encontramos para resolver, a razão da P.A. é .
Cuidado na conferência, porque o primeiro termo é .

Espero ter ajudado, e como sempre, caso tenham algum comentário ou complemento, escrevam.

[kotta]

Valeu Fábio, muito obrigada.
Estava ficando travada na hora de resolver pq estava tentando resolver pela PG. Agora vou refazer meus calculos.
Você está me ajudando muito.
Grande abraço.
Kenia