[Progressão Aritmética]

por **JU201015** » Sáb Nov 17, 2012 10:21

As medidas dos lados de um retângulo e sua diagonal formam, nessa ordem, uma PA. Sabendo=se que o perímetro desse retângulo é igual a 14, determine a área desse retângulo.
Questão muito simples mas não sei fazer uma conta com os lados e diagonais formando uma PA. Me ajudem?

por **Cleyson007** » Sáb Nov 17, 2012 11:21

JU201015, vou te dar as dicas. Ok?

As medidas dos lados do retângulo, são: x e y

2x + 2y = 14 (I)

Diagonal --> d² = x² + y²

P.A. = (x, y, Vx²+y²)

y - x = Vx²+y² - y (II) (Obs.: O V é raiz quadrada)

Basta resolver o sistema de equações, e encontrar os valores de x e y.

A área procurada é dada por Ar = x.y

Comente qualquer dúvida :y:

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 17, 2012 11:29

Sejam

e

os lados do retângulo e

sua diagonal. Como é um retângulo, podemos aplicar o teorema de pitágoras para encontrar que $d = \sqrt{a^2 +b^2}$ .

Pela definição de perímetro temos que 2a + 2b = 14

ou

.

Pela definição de progressão aritmética sabemos que a razão entre dois termos consecutivos é constante, logo b-a = d-b

.

Substituindo $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ e b = 7-a

segue que

$(7-a) -a = (\sqrt{a^2 + (7-a)^2}) - (7-a)$ .

Simplificando,

$14-a = \sqrt{a^2 + (7-a)^2}$ .

Tente terminar. :y:

por **JU201015** » Dom Nov 18, 2012 10:52

MarceloFantini escreveu:Sejam e os lados do retângulo e sua diagonal. Como é um retângulo, podemos aplicar o teorema de pitágoras para encontrar que $d = \sqrt{a^2 +b^2}$ .

Pela definição de perímetro temos que ou .

Pela definição de progressão aritmética sabemos que a razão entre dois termos consecutivos é constante, logo .

Substituindo $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ e segue que

$(7-a) -a = (\sqrt{a^2 + (7-a)^2}) - (7-a)$ .

Simplificando,

$14-a = \sqrt{a^2 + (7-a)^2}$ .

Tente terminar.

$-7{x}^{2}+70x-147=0$
Encontro as raízes 7 e 3. Mas se x for 7, y será 0, então x é 3. Sendo x igual a 3, a PA fica:
PA=(X,Y,VX²+Y²)
PA=(3,4,5).
Logo, a área do retângulo é x.y=3.4=12.
Está correto?

por **MarceloFantini** » Dom Nov 18, 2012 23:41

Existe um erro na minha resolução, simplifiquei errado. A conta correta é

$2(7-a)-a = 14 -3a = \sqrt{a^2 + (7-a)^2}$ .

Resolvendo isto você encontrará a=3

, daí

e $a \cdot b = 12$ .

Como você encontrou a equação 7x^2 -70x +147=0

?

por **JU201015** » Seg Nov 19, 2012 12:30

MarceloFantini escreveu:Existe um erro na minha resolução, simplifiquei errado. A conta correta é

$2(7-a)-a = 14 -3a = \sqrt{a^2 + (7-a)^2}$ .

Resolvendo isto você encontrará , daí e $a \cdot b = 12$ .

Como você encontrou a equação ?