Indução Matemática - Números reais x e y

por **sony01** » Seg Mar 05, 2012 21:39

Analise as seguintes afirmações:

I - Se x e y são números reais positivos então $\sqrt {x^2 + y^2}$ = x + y

.
II - Para quaisquer números reais x e y, tem-se x^8 - y^8 = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2)(x^4+y^4)

.
III - A igualdade $\frac{1}{x+y} = \frac 1 x + \frac 1 y$ vale para quaisquer números reais não nulos x e y.
IV - Se x é um número real tal que 0<x<1

então

Pode-se dizer que:

a) Apenas uma afirmação é verdadeira.
b) Apenas duas afirmações são verdadeiras.
c) Apenas três afirmações são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.

Cálculo

I - Se x e y são números reais positivos então $\sqrt {x^2 + y^2}$ = x + y

.

$\displaystyle \sqrt[2]{x^2+y^2} = \sqrt[\not 2]{x^{ \not 2}} + \sqrt[ \not 2]{y^{ \not 2}} = x + y$
1ª Afirmação Verdadeira.

II - Para quaisquer números reais x e y, tem-se x^8 - y^8 = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2)(x^4+y^4)

.

Logo, $x^8-y^8 \ne x^6+y^6+y^4x^2+x^4y^2+x^2-y^2$
2ª Afirmação Falsa.

III - A igualdade $\frac{1}{x+y} = \frac 1 x + \frac 1 y$ vale para quaisquer números reais não nulos x e y.

$\frac{1}{x+y} = \frac 1 x + \frac 1 y \Rightarrow \frac 1 x + \frac 1 y = \frac{1}{x_ \cdot _y} + \frac{1}{y_ \cdot _x} = \frac{y+x}{xy} \Rightarrow \frac{1}{x+y} \ne \frac{y+x}{xy}$
3ª Afirmação Falsa.

IV - Se x é um número real tal que 0<x<1

então

Se 0 < x < 1 , logo x^9

é < que

Logo, 4ª Afirmação Falsa

Resposta Certa Letra A: Apenas uma afirmação é verdadeira.

Eu não sei se eu acertei no cálculo e também não possuo o gabarito da questão, espero que possam me ajudar.

Desde já Agradeço!

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Obs.: Primeira Postagem no Fórum! :y:

por **fraol** » Seg Mar 05, 2012 22:32

Para a letra a) pense, por exemplo em x = 1 e y = 2. O seu desenvolvimento não está correto. Pense, primeiramente em elevar ao quadrado ambos os membros da expressão original e tente desenvolver a partir disso.

A letra b) é uma afirmação válida. Você quer tentar fatorar novamente?

A sua conclusão para a letra c) está correta mas, há um erro de passagem que você acabou corrigindo na sequência.

A letra d) está correta.

Se não conseguir algum desenvolvimento manda a dúvida pra cá.

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