Adição e Subtração de Arcos.

por **DPeres** » Sáb Mai 05, 2012 02:13

Sabendo-se que sen(x).cos(x)=0,4 e que 0<x<45,calcule 300.tgx:

por **LuizAquino** » Sáb Mai 05, 2012 10:08

DPeres escreveu:Sabendo-se que sen(x).cos(x)=0,4 e que 0<x<45,calcule 300.tgx:

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental, note que você pode montar um sistema:

$\begin{cases} \textrm{sen}^2\, x + \cos^2 x = 1 \\ \textrm{sen}\, x\cos x = 0,4 \\ \end{cases}$

Isolando o seno na segunda e substituindo na primeira, temos que:

$\left(\frac{0,4}{\cos x}\right)^2 + \cos^2 x = 1$

$\frac{0,16}{\cos^2 x} + \cos^2 x = 1$

$\frac{0,16 + \cos^4 x}{\cos^2 x} = 1$

$0,16 + \cos^4 x = \cos^2 x$

$\cos^4 x - \cos^2 x + 0,16 = 0$

Fazendo a substituição $y = \cos^2 x$ , podemos escrever que:

y^2 - y + 0,16 = 0

Agora tente terminar o exercício a partir daí.

por **DPeres** » Dom Mai 06, 2012 02:41

cheguei até aí. Mas não consegui nada!! depois.

por **LuizAquino** » Dom Mai 06, 2012 09:05

DPeres escreveu:cheguei até aí. Mas não consegui nada!! depois.

Temos a equação:

y^2 - y + 0,16 = 0

Note que 0,16 é o mesmo que $\frac{16}{100}$ . Simplificando a fração, ficamos apenas com $\frac{4}{25}$ . Sendo assim, podemos reescrever a equação como:

$y^2 - y + \frac{4}{25} = 0$

Resolvendo essa equação polinomial do 2º, temos que:

$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{4}{25} = \frac{9}{25}$

$y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{\frac{9}{25}}}{2\cdot 1} \implies \begin{cases}y_1 = \dfrac{4}{5} \\ \\ y_2 = \dfrac{1}{5}\end{cases}$

Lembrando que fizemos a substituição $y = \cos^2 x$ , temos que:

(i) $\frac{4}{5} = \cos^2 x \implies \cos x = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

(ii) $\frac{1}{5} = \cos^2 x \implies \cos x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Agora tente terminar o exercício a partir daí.