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Trigonometria e Velocidade Escalar

Trigonometria e Velocidade Escalar

Mensagempor Guga1981 » Sáb Ago 04, 2018 02:50

Olá, amigos!
Estou tentando resolver este exercício:
ajudam.jpg

e não estou conseguindo...
ao resolver essa equação, chego no seguinte resultado:

x = 6.cos\frac{\Pi.t}{3}.cos\frac{\Pi}{4} - sen\frac{\Pi.t}{3}.sen\frac{\Pi}{4}

x = 6.(\frac{t}{2}.0 - \frac{\sqrt[2]{3}.t}{2}.1)

x = - 3.\sqrt[2]{3}.t}

isolando \frac{x}{t} tenho a velocidade escalar: \frac{x}{t} = - 3.\sqrt[2]{3}m/s}

Mas não sei se é a velocidade máxima. E também não consigo saber a aceleração máxima.

Fico no aguardo da ajuda de vocês ;)
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Re: Trigonometria e Velocidade Escalar

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Ago 04, 2018 22:11

Olá Guga1981!

Para determinar a velocidade escalar, deves derivar a equação horária \underline{\mathsf{x(t)}} em relação a \underline{\mathsf{t}}. Quanto à aceleração, derive mais uma vez.

\bullet \qquad \mathsf{v(t) = \frac{dx}{dt}}


\bullet \qquad \mathsf{a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} \quad ou \quad a(t) = \frac{dv}{dt}}
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Re: Trigonometria e Velocidade Escalar

Mensagempor Guga1981 » Dom Ago 05, 2018 02:02

É que ainda estou no ensino médio... Não sei Cálculo diferencial e integral...
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Re: Trigonometria e Velocidade Escalar

Mensagempor Gebe » Dom Ago 05, 2018 20:06

A velocidade e a aceleração são dadas respectivamente por uma taxa de variação do deslocamento no tempo e por uma taxa de variação da velocidade no tempo.
Podemos "tirar" estas taxas utilizando o grafico (ou função) do deslocamento, como o fornecido. Para isso utilizariamos conceitos de calculo.

No entanto, como tu mencionou que não tem conhecimento de calculo, basta saber que esses novos graficos serão tambem senoides (senos ou cossenos), porem com suas amplitudes diferentes.
As amplitudes (valores maximos das senoides) são dadas da seguinte forma:
Dado x(t) = k*sen( a*t + b), onde k é a amplitude, "a" a frequencia e "b" a fase.

Amplitude maxima da velocidade (em modulo!) = k*a
Amplitude maxima da aceleração (em modulo!) = k*a*a = k*a²

Sendo assim para a questão dada, temos k = 6 , a = pi/3 e b = pi/4.
Vale notar que, como estamos trabalhando em modulo, não nos importa se a função é seno ou cosseno.

a) = 6 * pi/3 = 2pi
b) = 6 * pi/3 * pi/3 = 2pi²/3

Abaixo coloco o grafico das tres funções, em vermelho x(t) , azul v(t) e verde a(t).
Programa utilizado: winplot.

graf.png
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Re: Trigonometria e Velocidade Escalar

Mensagempor Guga1981 » Seg Ago 06, 2018 12:15

Essa frase que escrevi está certa? ↓

"O sinal da aceleração centrípeta é negativo por uma questão de referencial. Quando a aceleração do MHS é crescente, o objeto se movimenta da direita para a esquerda. Em contrapartida no eixo x os valores aumentam da esquerda para a direita. Por isso a necessidade de se inverter o sinal da aceleração do MHS."
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}