Exercício de Trigonometria

por **felipexxavier** » Seg Mar 31, 2008 11:38

O exercício é da matéria de trigonometria...
De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o Topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30° e 45° respectivamente. Se o bastão mede 4m de comprimento, calcule a altura da colina, em metros.

fiz sobre a tg de 45° que seria co/ca mas o resultado dá quebrado tipo 5,46, tenho dificuldades no exercício.

por **admin** » Seg Mar 31, 2008 13:11

Olá, seja bem-vindo!

Comente os passos que você seguiu para obter este resultado, assim poderemos discutir melhor.
De qualquer forma, provavelmente sua idéia esteja correta porque eu encontrei $2\left( \sqrt{3}+1 \right)$ metros para a altura da colina que corresponde ao seu valor aproximado.

Vamos chamar de O o ponto no solo, alinhado verticalmente com o bastão, na base da colina.
E x a altura OB que procuramos.

As curiosidades que eu tenho para entender melhor sua dificuldade são as seguintes:

-Fez o desenho? Alguma dúvida nele?
-Visualizou o triângulo AOC retângulo em O?
-E o mais importante: percebeu que ele também é isósceles, sendo que os catetos AO e OC medem 4+x?

Com este desenho feito, utilizei a tangente de 30^o

.

Comente suas dúvidas e poderemos conversar sobre elas.
Até mais.

por **felipexxavier** » Seg Mar 31, 2008 16:00

Fábio...

Fiz o desenho, mas como sou novo aqu,i ainda não aprendi (risos)...

Como o ângulo é de 45°, significa que o CA=CO.

Cheguei no CA= 4+x

Sabendo o CA, a formula da tg você descobre x.

CA30° = CA45°

tg30° = CO/CA ->> tg30° = x/x+4

Substituindo os valores você chega a esse resultado:

2 raiz de 3 + 2

Você colocou + 1
Ok?!

Assim:

De um ponto A, no solo, visam-se a base B e o Topo C de um bastão colocado verticalmente no alto de uma colina, sob ângulos de 30° e 45° respectivamente.
Se o bastão mede 4m de comprimento, calcule a altura da colina, em metros.

2 raiz de três +2 =
2.1,73 + 2 =
3,46 + 2 =

5,46

Resposta: A altura da colina é de 5 metros e 46 centímetros.

É isso mesmo,pq vc até comentou que seria um triangulo isoceles, mas só vejo retângulo.

por **admin** » Seg Mar 31, 2008 17:11

Olá.
Coloquei +1 mesmo, note que 2 está em evidência, vou repetir aqui:

$AO = OC = 2\left( \sqrt{3}+1 \right) = 2\sqrt{3}+2$

Esta sua afirmação não é verdadeira:

Como o ângulo é de 45°, significa que o CA=CO.

AC é a diagonal de um quadrado de lado AO=OC.
Ou seja, $AC \neq AO$ e $AC \neq OC$ .

Como uma figura diz mais do que palavras, veja:

: triangulo_retangulo_isosceles.jpg (21.95 KiB) Exibido 16343 vezes

Repare que CO/CA que você citou é na verdade o seno de 45^o

e não a tangente de 30^o

.

$tg30^o = \frac{OB}{AO} = \frac{x}{4+x}$

$\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{x}{4+x}$

$\sqrt{3}(4+x) = 3x$

$4\sqrt{3} + x\sqrt{3} = 3x$

$3x - x\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

$x\left( 3- \sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3}$

$x = \frac{4\sqrt{3}}{ \left( 3- \sqrt{3} \right) }$

$x = \frac{4\sqrt{3} \cdot\left( 3+\sqrt{3}\right) }{ \left( 3- \sqrt{3} \right) \cdot\left( 3+\sqrt{3}\right) }$

$x = \frac{12\sqrt{3} + 12}{9-3}$

$x = \frac{12\left( \sqrt{3} + 1 \right)}{6}$

$x = 2\left( \sqrt{3} + 1 \right)$ metros

OK?

Caso tenha alguma dúvida ou discorde de algo, por favor, comente conosco!
Até mais.

por **felipexxavier** » Seg Mar 31, 2008 17:56

Só tenho a agradecer.

Li o seu comentário para um rapaz, onde cita que não é um professor exatamente, apesar da licenciatura, porém vejo que tem potencial, parabéns e o melhor de tudo esse site tem um conteúdo muito rico, que esta de parabéns também!

Saibam que estarei todos os dias neste site e quais forem as dúvidas nas aulas de cálculo, algébra linear e física ou até mesmo algo novo, inovador sobre a nossa querida matemática, trarei para o fórum, muito obrigado!

Felipe Xavier
Technical Telecomunications

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