[Integral Por Substituição]

por **Douglas13** » Qua Nov 25, 2015 10:49

Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar a resolver essa integral

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De preferência passo a passo para que possa compreender.

por **nakagumahissao** » Qua Nov 25, 2015 13:45

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx$

Primeiramente vamos desmembrar a fração da seguinte maneira:

$\frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Pelas propriedades das Integrais podemos integrar cada uma das funções separadamente, sempre considerando x diferente de zero.

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx \;\;\;\;[1]$

Vamos resolver a primeira integral em [1] substituindo-se:

$u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^{2} dx \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^{2}}$

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx = \int 2x^{2} e^{x^3 + 1} dx = \int \frac{2x^{2} e^{u}}{3x^{2}} du =$

$\int \frac{2}{3} e^{u} du = \frac{2}{3} \int e^{u} du = \frac{2}{3} e^{u} =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} \;\;\;\;\;[2]$

Para a segunda integral em [1] acima, tomemos:

$u = \frac{1}{x} \;\;\;\; [3]$

$u = x^{-1} \Rightarrow du = - x^{-2} dx \Rightarrow du = - \frac{1}{x^{2}} dx \Rightarrow$

$\Rightarrow dx = - x^{2} du \;\;\;[4]$

Usando [3] e [4] na segunda integral de [1], teremos:

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{e^{u}}{x^{2}} (-x^{2}) du = \int - e^{u} du = -\int e^{u} du =$

$= -e^{u} + c_{2} = -e^{1/x} + c_{2} \;\;\;\;\;[5]$

Finalmente, juntando-se [2] e [5] obtidos acima em [1] e tomando-se cuidado com os sinais e combinando-se as constantes, tem-se:

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} - \left( -e^{1/x} + c_{2} \right) =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} + e^{1/x} - c_{2} = \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + e^{1/x} + C$

$\Blacksquare$

por **nakagumahissao** » Qua Nov 25, 2015 13:48

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx$

Primeiramente vamos desmembrar a fração da seguinte maneira:

$\frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Pelas propriedades das Integrais podemos integrar cada uma das funções separadamente, sempre considerando x diferente de zero.

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx \;\;\;\;[1]$

Vamos resolver a primeira integral em [1] substituindo-se:

$u = x^3 + 1 \Rightarrow du = 3x^{2} dx \Rightarrow dx = \frac{dy}{3x^{2}}$

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx = \int 2x^{2} e^{x^3 + 1} dx = \int \frac{2x^{2} e^{u}}{3x^{2}} du =$

$\int \frac{2}{3} e^{u} du = \frac{2}{3} \int e^{u} du = \frac{2}{3} e^{u} =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} \;\;\;\;\;[2]$

Para a segunda integral em [1] acima, tomemos:

$u = \frac{1}{x} \;\;\;\; [3]$

$u = x^{-1} \Rightarrow du = - x^{-2} dx \Rightarrow du = - \frac{1}{x^{2}} dx \Rightarrow$

$\Rightarrow dx = - x^{2} du \;\;\;[4]$

Usando [3] e [4] na segunda integral de [1], teremos:

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{e^{u}}{x^{2}} (-x^{2}) du = \int - e^{u} du = -\int e^{u} du =$

$= -e^{u} + c_{2} = -e^{1/x} + c_{2} \;\;\;\;\;[5]$

Finalmente, juntando-se [2] e [5] obtidos acima em [1] e tomando-se cuidado com os sinais e combinando-se as constantes, tem-se:

$\int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx = \int \frac{2x^{4} e^{x^3 + 1}}{x^{2}} dx - \int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} dx =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} - \left( -e^{1/x} + c_{2} \right) =$

$= \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + c_{1} + e^{1/x} - c_{2} = \frac{2}{3} e^{x^{3} + 1} + e^{1/x} + C$

$\Blacksquare$