[função trigonometrica] Ajuda,exercicio UFF

por **phmarssal** » Qua Jan 14, 2015 15:09

Olha eu tenho uma duvida na resolução do exercico,não tenho ideia de como fazer,se alguem puder explicar o passo a passo agradeço:

Seja f:IR? IR a função definida por
f(x)=sen(x - pi/4 )cos(x - pi/4 ).

Determine:
a) os valores de x para os quais f(x) = 0. Justifique a sua resposta.
b) o valor mínimo de f e o valor máximo de f. Justifique a sua resposta.
c) o período de f. Justifique a sua resposta.

por **Baltuilhe** » Ter Fev 10, 2015 15:46

Boa tarde!

Existe uma relação que pode ajudar a resolver este problema:
sen(2x)=2sen(x)cos(x)

Como tem:
$f(x)=sen\left(x-\frac{\pi}{4}\right)cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{sen\left(2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)}{2}$
$f(x)=\frac{1}{2}sen\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)$

a) f(x)=0
f(x)=0

$\frac{1}{2}sen\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=0$
$2x-\frac{\pi}{2}=0+2k\pi$
$2x=2k\pi+\frac{\pi}{2}$
$x=k\pi+\frac{\pi}{4}$ $k \in \mathbb{Z}$

b)Como a função seno (ou cosseno) tem o valor máximo e mínimo de 1 e -1, ao multiplicarmos por 1/2 tal função seus valores máximo e mínimo serão 1/2 e -1/2, respectivamente

c)Período da função depende da termo que multiplica o x, no caso temos $2x-\frac{\pi}{2}$
Para calcular, só dividir pelo número 2 (número que multiplica x) e teremos:
$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$