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Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 11:51

Bom dia!

A área da região do primeiro quadrante delimitada pelas retas que são soluções da equação cos(x+y)=0, com 0\leq x+y \leq2\pi, é igual a:

Resposta: \pi^2 unidades de área

Eu cheguei a:
cos x . cos y - sen x . sen y = 0
cos x . cos y = sen x . sen y
tg y . tg x = 1

Daí fui analisando as possibilidades e obtive como possíveis:

45^0+45^0;
120^0+150^0;
30^0+60^0;
135^0+135^0;
210^0+60^0;
225^0+45^0;
240^0+30^0

Daí tracei as retas no círculo trigonométrico (só tracei as que cortam o primeiro quadrante), mas nas minhas tentativas de calcular a área não cheguei nenhuma vez a \pi^2, porque parti de que a área da circunferência é \piR^2.
Como prossigo se é que está certo?

Grata desde já!
Anexos
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.JPG
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 13:12

Olá Ananda, boa tarde!

A região que está em destaque na sua figura, não é a que o enunciado pede a área.

Eu sei que vendo esta equação cos(x+y)=0 logo pensamos em desenvolver a soma de arcos.

Mas, você pensou na solução geral?
Lembra do conjunto-solução de uma equação trigonométrica que comentei na dúvida anterior?

Tente este caminho!
Encontre o conjunto-solução.
Você terá um k inteiro.

Em seguida, veja que o enunciado especifica um intervalo.
Encontre os valores de k que atendem à condição.

Somente então, você poderá extrair duas retas.
Trace as duas retas no plano cartesiano.

A área pedida está entre elas, no primeiro quadrante, e realmente é \pi^2.

Vamos conversando...
Até mais!
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 14:00

Olá!
Fica assim?

cos (x+y)=0
cos = 0 --> \frac{\pi}{2}

S = \{x+y \in \Re | x+y = \frac{\pi}{2}+K.\pi\} \left(K \in\\Z \right)

No intervalo pedido, K pode ser 0 ou 1.
Então:
x+y=90^0
x+y=270^0


Agora para fazer as retas no plano cartesiano tenho que usar os valores dos ângulos como x e y?

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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 14:17

Ananda, antes, só um comentário.
Eu entendi o que você quis dizer aqui, mas não se deve escrever desta forma:
cos = 0 --> \frac{\pi}{2}


A idéia fica expressa assim:
Para \alpha \in \Re, 0 \leq \alpha \leq \pi, cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}

Igualmente:
Para \alpha real, \alpha \in [0, \pi], cos\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2}



Voltando, o conjunto-solução é este mesmo, está certo!
E k=0 ou k=1, ótimo!

Você precisa sim utilizar os ângulos, mas em radianos, não em graus.

E depois, por favor, comente como você traça retas no plano cartesiano.
Parece ingênuo, mas é importante. Farei novos comentários a partir de sua resposta.

O exercício está quase acabando. Uma vez que você visualizar as retas, será fácil o cálculo da área pedida.
Até mais.
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 15:19

Ai! Agora que eu entendi hahahaha
Por isso que eu tentava colocar o desenho dentro do primeiro quadrante do círculo trigonométrico e não dava certo! hahahaha
No plano cartesiano fica assim:

Área total: Triângulo maior
base = \frac{3\pi}{2}-0

altura = \frac{3\pi}{2}-0


Área total: \frac{9\pi}{8}

Área do triângulo menor:
base = \frac{\pi}{2}-0

altura = \frac{\pi}{2}-0


Área: \frac{\pi^2}{8}

Área delimitada = Área total - Área do triângulo menor
Área delimitada = \frac{9\pi^2}{8}-\frac{\pi^2}{8}


Área delimitada = \pi^2

Certo?

Sobre como eu traço as retas, bom se eu entendi direito a pergunta, com régua e usando escala.
Grata pela atenção e ajuda!
Ananda
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor admin » Qui Mar 06, 2008 16:58

Olá!

Certo!

Parece que sua dúvida inicial teve relação com o primeiro quadrante.
Apenas para registrar, sendo x, y \in \Re, o primeiro quadrante é a intersecção das regiões representadas por estas inequações:

\left\{
\begin{matrix}
x \geq 0  \\ 
y \geq 0 
\end{matrix}
\right.

Veja na figura, incluindo o círculo trigonométrico:
primeiro_quadrante.jpg
primeiro_quadrante.jpg (25.97 KiB) Exibido 9643 vezes


E a região do enunciado realmente não cabe dentro do círculo que possui área \pi.


Sobre os gráficos, seria melhor eu ter perguntado, não como você desenha, mas como você pensa.
No caso de retas, há várias formas, mas acredito que se você fizer uso do que eu tentarei explicar, conseguirá esboçar muitos gráficos mentalmente, apenas olhando para suas equações.

Escrevi um tópico só para o assunto: Pensando e esboçando gráficos
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=72&t=150


Bons estudos!
Espero ter ajudado!
Fábio Sousa
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Re: Área, círculo trigonométrico, equação (UFU)

Mensagempor Ananda » Qui Mar 06, 2008 17:48

Oi!
É o método da "tabelinha" mesmo...
Mas tenho uma noção de como será a representação (reta decrescente, crescente; parábola) por causa dos gráficos de Física...
Grata!
Ananda
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D