Simplifique a Expressão. Nivel 2 Trigonometria

[joaogil20]

sen^6 + cos^6 – sen^4 – cos^4 + sen^2


A resposta é sen^4, mas não sei simplificar.

[adsonsarinho]

Nesta resolução vamos apenas usar a seguinte relação:
Sen²+ Cos² = 1
Vamos lá!
A equação inicial é
Sen^6 + Cos^6 - sen^4 - Cos^4 + Sen^2
Agrupando e colocando sen^2 e cos^4 em evidência, teremos:
(Sen^2)*( Sen^4 - Sen^2 + 1) + (Cos^4)*(cos^2 - 1)
Porém, -sen^2 + 1 = cos^2 e cos^2 - 1 = - sen^2
Logo, teremos:
(sen^2)*(sen^4 + cos^2) + (cos^4)*(-sen^2)
aplicando a distributiva, teremos
sen^6 + (sen^2)*(cos^2) - (cos^4)*(sen^2)
e colocando (sen^2)*(cos^2) em evidência, teremos:
sen^6 + (sen^2)*(cos^2)*(1 - cos^2)
e sabemos que 1 - cos^2 = sen^2
logo,
sen^6 + (sen^2)*(cos^2)*(sen^2)
e colocando sen^4 em evidência, teremos:
(sen^4)*(sen^2 + cos^2)
e pela relação fundamental, Sen²+ Cos² = 1
Logo, teremos:
(sen^4)*(1) = sen^4
C.Q.D.