[Trigonometria] Equação

por **mota_16** » Qua Dez 11, 2013 20:12

Pessoal, esse eu não consegui fazer. Tentei substituir o $\frac{\pi}{9}$ na euqação, mas sem sucesso. Passei a resolver as equações do enunciado, mas não soube o que fazer com as suas raízes.

Pode-se mostrar que $cos3a=4{cos}^{3}a-3cosa$ . Uma decorrência dessa fórmula é que $cos\left(\frac{\pi}{9} \right)$ é solução da equação:
a) ${x}^{3}-x+1=0$
b) $4{x}^{3}-3x-1=0$
c) $4{x}^{3}-3x+1=0$
d) $8{x}^{3}-6x+1=0$
e) $8{x}^{3}-6x-1=0$

Gabarito: E

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 20:38

Sai de imediato da relação dada com escolha particular para

.Aceitando que

cos(3a) = 4cos^3(a) - 3cos(a)

. Segue-se que

4cos^3(a) - 3cos(a) - cos(3a) = 0

. Em particular para $a = \pi/9$ obterá o resultado .

por **mota_16** » Qua Dez 11, 2013 20:48

Desculpe-me a falta de conhecimento.

De fato, tinha feito isso mesmo:

Escrevi $4{cos}^{3}\left(\frac{\pi}{9} \right)-3cos\left(\frac{\pi}{9} \right)-cos3\left(\frac{\pi}{9} \right)=0$ . Mas aqui eu parei, pois $cos\left(\frac{\pi}{9} \right)=20$ graus e não é um ângulo notável.

Como prosseguir?

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 20:58

Não se preocupe ,o objetivo não é calcular o cosseno de $\pi/9$ ,como tu notou não é notável . Só queremos saber quais das alternativas apresentam a equação cuja solução é $cos(\pi/9)$ . Tente novamente e caso não consiga post .

por **mota_16** » Qua Dez 11, 2013 21:09

Minha dúvida é a seguinte: eu não sei o valor de cos(pi/9), mas preciso identificar qual a equação das alternativas tem esse valor. Aqui já me deu um nó. E outra as equações das alternativas não são trigonométricas, então como eu vou saber qual delas é a correta?

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 21:13

Veja um exemplo para exemplificar :

Sabendo-se que para certo

(complexo) tem-se $e^{r} = \frac{1}{e^r} + e^{2r}$ . Segue daí ,

$e^{r} - \frac{1}{e^r} - e^{2r} = 0$ e multiplicando por $e^{r}$ ,

$e^{2r} -e^{3r} -1 = 0$ ou ainda $-(e^{r})^3 +(e^r)^2 - 1 = 0$ . E aqui vemos que e^r

corresponde a uma das soluções da eq. polinomial -3x^2 +x^2 - 1 = 0

.

por **e8group** » Qua Dez 11, 2013 21:20

Não precisa veric

mota_16 escreveu:Minha dúvida é a seguinte: eu não sei o valor de cos(pi/9), mas preciso identificar qual a equação das alternativas tem esse valor. Aqui já me deu um nó. E outra as equações das alternativas não são trigonométricas, então como eu vou saber qual delas é a correta?

Veja outro exemplo simples só para ver se você compreendeu .

Suponha-se que $6 \lambda^2 + 3\lambda - 1 = 0$ para certo $\lambda$ (Não precisar calcular ) . Me diga uma equação polinomial de grau 2 em que $\lambda$ é solução .

por **mota_16** » Qua Dez 11, 2013 23:26

Agora sim, acho que compreendi.

Pensei em fazer assim:

$4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-cos3\left( \frac{\pi}{9}\right)=0$
$4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-cos\left( \frac{\pi}{3}\right)=0$
$4{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-3cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-\frac{1}{2}=0$

$8{cos}^{3}\left( \frac{\pi}{9} \right)-6cos\left( \frac{\pi}{9}\right)-1=0$

É isso, não é?

Nada como um bom professor. Muito obrigado santhiago!