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Inequação Trigonométrica

Inequação Trigonométrica

Mensagempor Rafael16 » Qui Mai 23, 2013 21:28

Boa noite!
Resolva, no intervalo 0\leq x \leq pi, a inequação cos(2x) + 2cos^2x \leq 0.

Tentei resolver da seguinte maneira (que nem sei se estou no caminho certo :-P ):

cos(2x) + 2cos^2x \leq 0

Transformei cos(2x) em produto:

2.cos(x) + 2cos^2(x) \leq 0

2.cos(x) . [1 + cos(x)] \leq 0

Cheguei nessa inequação produto, e tentei fazer o procedimento igual numa inequação produto comum (transformar cada fator em função, achar as raízes e '"jogar" as raízes na reta pra fazer o jogo de sinais)

A raíz de 2cos(x)=0 é x=pi/2 e a raíz de 1 + cos(x) = 0 é x= pi

Mas na hora de colocar na reta me confundi.
Como que faço esse trem? :-D

Resposta:
S= {x\in R|\frac{pi}{3} \leq x \leq \frac{2.pi}{3}}
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Molina » Qui Mai 23, 2013 21:55

Boa noite, Rafael.

Não entendi muito bem essa sua transformação, pois cos(2x) = cos^2x - sen^2x. Assim:

cos(2x) + 2 cos^2x \leq 0

cos^2x - sen^2x + 2 cos^2x \leq 0

3cos^2x - sen^2x \leq 0

3cos^2x \leq sen^2x

3 \leq \frac{sen^2x}{cos^2x}

3 \leq tg^2x}

... Talvez assim saia! :y:
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Rafael16 » Qui Mai 23, 2013 23:07

Valeu Molina!

Então tg(x)\geq \sqrt[]{3} tem como solução \frac{pi}{3} \leq x < \frac{pi}{2} ou \frac{4.pi}{3} \leq x < \frac{3.pi}{2}.
Então a resposta esta errada, né?


Molina escreveu:Não entendi muito bem essa sua transformação, pois cos(2x) = cos^2x - sen^2x.


Fiz assim:
cos(a + b)=2.cos(\frac{a+b}{2}).cos(\frac{a-b}{2})

cos(x + x)=2.cos(\frac{x+x}{2}).cos(\frac{x-x}{2})

cos(2x)=2.cos(x)

Esta certo assim também?
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Molina » Qui Mai 23, 2013 23:20

Boa noite.

Vou tentar resolver sem utilizar tangente, pois em \frac{\pi}{2} ela não está definida, como você salientou. Mas observe que este ponto é uma solução da inequação. Volto a fazer contato em breve.

:y:
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Molina » Qui Mai 23, 2013 23:31

Boa noite.

Com algo parecido não precisamos de tangente:

cos(2x) + 2 cos^2x \leq 0

cos^2x - sen^2x + 2 cos^2x \leq 0

3cos^2x - sen^2x \leq 0

3cos^2x - (1 - cos^2x) \leq 0

3cos^2x - 1 + cos^2x \leq 0

4cos^2x \leq 1

cos^2x \leq \frac{1}{4}

:y:
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Rafael16 » Sex Mai 24, 2013 00:16

Obrigado Molina!
Então a forma que você resolveu na primeira resolução (com tangente) esta errada?
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Re: Inequação Trigonométrica

Mensagempor Molina » Sex Mai 24, 2013 00:20

Rafael16 escreveu:Obrigado Molina!
Então a forma que você resolveu na primeira resolução (com tangente) esta errada?


Está sim, pois eu passei o cosseno dividindo e ele poderia ser 0, o que não pode na matemática. :y:
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59