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[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

[TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qua Jan 23, 2013 15:51

Questão 15 (UNEB 2013): A figura mostra um instrumento utilizado para medir o
diâmetro de pequenos cilindros. Ele consiste em um
bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em
forma de V, contendo uma escala. O cilindro é colocado
na fenda e a medida de seu diâmetro, em centímetros,
é o número que, na escala, corresponde ao ponto de
tangência entre o cilindro e o segmento AB.
Nessas condições, ao construir a escala de um
instrumento desses, o número 2 corresponde a um
certo ponto do segmento AB.
Sendo d a distância desse ponto ao ponto A, pode-se afirmar que o valor de d, em cm, é:

Resposta: RAÍZ DE 1+cos(teta)/1-cos(teta)
Anexos
mat2.jpg
FIGURA
mat2.jpg (15.42 KiB) Exibido 4101 vezes
brunadultra
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 10:31

Bom dia .Veja a figura em anexo
mat2.jpg.png



Façamos , |BC| =| BD| = x > 0  ,  |BE| = d > 0 ( o que queremos )

Pelo enunciado , obtemos que o raio da circunferência tem medida 1 u.c (Se permancer dúvidas leia novamente o texto ).

No triângulo retângulo , AEC temos que : |EC| = tan(\theta) (note que \theta é agudo por isso desprezamos o módulo )

Ora ,se |BC| = (|BE| = d ) + (|EC| = tan(\theta)  = x então : d = x - tan\theta (1) .

Por outro lado ,

no triângulo BED , obtemos que cos(\theta) = d/x \implies  x = cos(\theta) d (2)


Comparando as expressões (1) e (2) ,segue que : d = \frac{sin(\theta)}{1-cos(\theta) } que em consequência da relação trigonométrica fundamental sin^2 x + cos^2 x  = 1 obtemos , d = \frac{\sqrt{1-cos^2(\theta)}}{1-cos(\theta)} que devido a propriedade a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) e por multiplicarmos tanto o numerador quanto denominador por \sqrt{1-cos(\theta)} ,finalmente obtemos :

d= \frac{ \sqrt{ 1 + cos(\theta)} }{ \sqrt{ 1 - cos(\theta)}

OBS.: Aconselho que refaça todas as contas , pois foi omitido algumas contas .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor brunadultra » Qui Jan 24, 2013 13:47

Olá santhiago,

eu consegui chegar até a parte em que {d}^{2}=\frac{{sen}^{2}\theta}{{(1-cos\theta})^{2}} . A partir daí eu encontro um resultado que não bate com a resposta: {}\frac{1+cos\theta}{1-cos\theta} (dentro da raíz)

Você poderia me ajudar?
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Qui Jan 24, 2013 21:02

Boa noite . Começando de onde você chegou(que estar correto) , podemos comparar o numerador sin^2(\theta) com a indentidade trigonométrica fundamental sin^2(\theta)  + cos^2(\theta)  = 1 de onde vamos obter sin^2(\theta) = 1 - cos^2(\theta) . Ou seja , d^2 = \frac{sin^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2} = \frac{1 - cos^2(\theta))}{(1-cos(\theta))^2} .Extraindo a raiz quadrada de ambos membros , \sqrt{d^2}  =  \sqrt{\frac{1 - cos^2(\theta)}{(1-cos(\theta))^2}} =   \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{\sqrt{(1 - cos(\theta))^2}}   = \frac{\sqrt{1 - cos^2(\theta)}}{1 - cos(\theta)} = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} . E por fim , multiplicando-se d por \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}} (note que não estamos alterando o resultado ,estamos multiplicando por 1 que é o elemento neutro do produto ) ,

d = \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\cdot\sqrt{1+cos(\theta)}}{1-cos(\theta)} \cdot \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}} {\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1-cos(\theta)}\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{\sqrt{[1-cos(\theta)]^2} \sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

d=  \frac{[1-cos(\theta)]\sqrt{1+cos(\theta)}}{(1-cos(\theta))\sqrt{1-cos(\theta)}}

Após cancelarmos o termo 1-cos(\theta) " encima e embaixo "

d=  \frac{\sqrt{1+cos(\theta)}}{\sqrt{1-cos(\theta)}} = \sqrt{\frac{1+cos(\theta)}{1-cos(\theta)}}

Qualquer dúvida só postar .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor e8group » Sex Jan 25, 2013 08:17

Ou melhor ...

d^2 = \frac{sin^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}=\frac{1-cos^2 \theta}{(1-cos\theta)^2}= \frac{(1-cos\theta)(1+cos\theta)}{(1-cos\theta)(1-cos\theta)} = \frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}


\therefore d = \sqrt{\frac{1 +cos\theta}{1- cos\theta}} .
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Re: [TRIGONOMETRIA] Questão UNEB 2013

Mensagempor zenildo » Qua Dez 13, 2017 17:28

Eu não entendi o porquê de colocar BC, já que tinha B naquele ponto.Tambem não entendi o porquê de BC = BD e escrever que é igual a x. Por favor, me explique.
zenildo
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D