[Demonstração] Propriedades do seno

por **junior1997** » Qua Out 17, 2012 16:30

Boa tarde! Recebi o seguinte exercício:

Mostre que:

$\text{sen}\,x+\text{sen}\,y=2\cdot\text{sen}\,\dfrac{x+y}{2}\cdot\cos\dfrac{x-y}{2}$ .
se um triângulo tem ângulos internos $\hat A$ , $\hat B$ e $\hat C$ e perímetro , então a medida do lado é dada por

$a=\dfrac{p\text{ sen}\,\frac{\hat A}{2}}{\cos\frac{\hat B}{2}\cdot\cos\frac{\hat C}{2}}$ .

Não consegui começar a demonstração. Entretanto, sei demonstrar a fórmula do seno da soma, isso é útil para este exercício?
Se alguém puder indicar o caminho, jogar uma luz, eu agradeço... Tenho dificuldade com demonstrações :oops:

por **Russman** » Qua Out 17, 2012 17:55

Na primeira faça

$\left\{\begin{matrix} sin(\frac{x+y}{2})=sin(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}) \\ cos(\frac{x-y}{2})=cos(\frac{x}{2}-\frac{y}{2}) \end{matrix}\right.$

e aplique a fórmula do seno e cosseno de uma soma. Multiplique os resultados como mostra na identidade e tente obter

sin(x) + sin(y)

por **junior1997** » Qua Out 17, 2012 20:34

Humm, acho que entendi. Geralmente eu deixo passar despercebidos algumas coisas (não tinha pensado em separar $\dfrac{x+y}{2} = \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{2}$ , de forma a obter uma soma)

Aí ficaria:
$\\ \sin \left (\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \right) = \sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{y}{2} + \sin \frac{y}{2} \cdot \cos\frac{x}{2}\\\\ \cos \left (\frac{x}{2}-\frac{y}{2} \right) = \cos\frac{x}{2} \cdot \cos\frac{y}{2} + \sin\frac{x}{2} \cdot \sin\frac{y}{2} \\\\\\\ 2 \sin \left (\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \right)\cos \left (\frac{x}{2}-\frac{y}{2} \right) =\\ \\= 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos^2 \frac{y}{2} + 2 \sin \frac{y}{2} \cos \frac{y}{2} \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{y}{2} \cdot \cos \frac{y}{2} \cdot \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \sin^2 \frac{y}{2} = \\\ = \sin \left( 2\cdot \frac{x}{2} \right) \cos^2\frac{y}{2} + \sin \left( 2\cdot \frac{y}{2} \right) \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \left( 2\cdot \frac{y}{2} \right) \cos^2 \frac{x}{2} +\sin \left( 2\cdot \frac{x}{2} \right) \sin^2 \frac{y}{2} = \\\ = \sin (x) \cos^2\frac{y}{2} + \sin(y) \sin^2 \frac{x}{2} + \sin(y) \cos^2 \frac{x}{2} + \sin(x) \sin^2 \frac{y}{2} =$
$\\ = \sin (x) \left( \cos^2\frac{y}{2} + \sin^2 \frac{y}{2} \right ) + \sin(y) \left (\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2} \right ) = \\ = \sin (x) \cdot 1+ \sin (y) \cdot 1 = \\ = \sin x + \sin y$

Iupii! Mas e pro item b, alguém tem alguma idéia?
Obrigado!

por **young_jedi** » Qui Out 18, 2012 11:13

a letra b
pensei da seguinte forma primeiro utilizando a lei dos senos

$\frac{a}{sen\^A}=\frac{b}{sen\^B}=\frac{c}{sen\^C}$

a, b e c são os lados do triangulo, apartir dai agente tira

$b=a.\frac{sen\^B}{sen\^A}$

$c=a.\frac{sen\^C}{sen\^A}$

então o perimetro sera

$2p=a+a.\frac{sen\^B}{sen\^A}+a.\frac{sen\^C}{sen\^A}$

$2p=a\left(\frac{sen\^A+sen\^B+sen\^C}{sen\^A}\right)$

para a soma de $sen\^B+sen\^C$ utiliza-se a relação da letra a

$2p=a\left(\frac{sen\^A+2.sen(\frac{\^B+\^C}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen\^A}\right)$

$2p=a\left(\frac{sen(\frac{\^A+\^A}{2})+2.sen(\frac{\^B+\^C}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen(\frac{\^A+\^A}{2})}\right)$

$2p=a\left(\frac{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}+2.sen(\frac{\^B+\^C}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}}\right)$

como A+B+C=180 então B+C=180-A, substituindo

$2p=a\left(\frac{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}+2.sen(\frac{180-\^A}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}}\right)$

$2p=a\left(\frac{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}+2.sen(90-\frac{\^A}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}}\right)$

$2p=a\left(\frac{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}+2cos(\frac{\^A}{2}).cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{2cos\frac{\^A}{2}.sen\frac{\^A}{2}}\right)$

simplificando $2cos\frac{\^A}{2}$

$2p=a\left(\frac{sen\frac{\^A}{2}+cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen\frac{\^A}{2}}\right)$

mais como A+B+C=180 então A=180-(B+C)

$2p=a\left(\frac{sen(\frac{180-(\^B+\^C)}{2})+cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen\frac{\^A}{2}}\right)$

$2p=a\left(\frac{sen(90-\frac{(\^B+\^C)}{2})+cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen\frac{\^A}{2}}\right)$

$2p=a\left(\frac{cos(\frac{\^B+\^C}{2})+cos(\frac{\^B-\^C}{2})}{sen\frac{\^A}{2}}\right)$

desenvolvendo a soma dos cosseno ai chega-se ate o resultado.