Demostração das identidades trigonometricas

por **Alerecife** » Sáb Set 08, 2012 13:32

Como posso demostra:

$a) cos2x=1-{sen}^{2}x$

$b)\frac{1}{1-tgx}-\frac{1}{1+tgx}=tg2x$

c) E resolver $sen\left(x+\frac{\pi}{6} \right)=\frac{1}{2}$ em $\Re$

d) E resolver no intervalo $\left[0,2\pi \right]$ a inequação $tg (x) \succeq1$

pela atenção obrigado!

por **Alerecife** » Dom Set 09, 2012 13:46

Ok vamos lá vejam ate aonde eu cheguei:
a) $cos2x=cos(x+x)=cosx.cosx-senx.sex=cos²x-sen²x como: sen²x+cos²x=1\Rightarrow cos²x=1-sen²x$
minha duvida: cos2x=(1-sen²x)-sen²x=1-2(sen²x)??

Na letra b) eu cheguei ate $\frac{2(cosx.senx)}{cos²x-sen²x}=tg2x$

a letra e c) o método de resposta é semelhante?

pela atenção obrigado!

por **young_jedi** » Dom Set 09, 2012 16:36

Na letra a) acho que seu raciocinio esta correto consulte a questão

Na letra b) temos que

$\frac{2cosxsenx}{cos^2x-sen^2x}&=&\frac{cosx.senx+cosx.senx}{cosx.cosx-senx.senx}$

usando as identidades trigonometricas temos

cos(2x)&=&cosx.cosx-senx.senx

sendo assim temos

$\frac{cosx.senx+cosx.senx}{cosx.cosx-senx.senx}&=&\frac{sen(2x)}{cos(2x)}$

Na letra c) podemos perceber que os angulos que tem seu seno como sendo igual a meio são os angulos

$\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$

sendo assim temos que para x satisfazer a equação deve ser igual a

$0+2\pi.k$ ou $\frac{4\pi}{6}+2\pi.k$ onde k&=&0,1,2,3...

por **MarceloFantini** » Dom Set 09, 2012 17:45

Na letra (a) o correto deve ser $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ . Você está no caminho correto. Para a letra (b), note que

$\tan 2x = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}$

$= \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} \cdot \frac{1}{(1 - \tan^2 x} = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$

$= \frac{\tan x - (- \tan x)}{1 - \tan^2 x} = \frac{(1 + \tan x) - (1 - \tan x)}{(1+ \tan x)(1 - \tan x)}$

$= \frac{1}{1 - \tan x} - \frac{1}{1 + \tan x}$ .

Na letra (c), como ele quer que resolvamos para $x \in \mathbb{R}$ , devemos fazer $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2 k \pi$ e $x - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6} + 2 k \pi$ , pois não é possível escrever tudo como um conjunto só. Daí, teremos que a solução é o conjunto

$\{ x \in \mathbb{R} \; | \; x = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \text{ ou } x = \pi + 2 k \pi \}$ .

Por último, teremos que $\tan x \geq 1$ se $x \in \left[ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right)$ ou $x \in \left[ \frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2} \right)$ .