Equação Logarítmica

por **Pri Ferreira** » Qua Mar 21, 2012 18:27

O produto das 3 raízes da equação
é $({3}^{log {}_{x}{3}}).({x}^{log{}_{3}{x}})= 9$ o número n. O valor de n é igual a:
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27
Por favor!!!Tentei e não consegui!!!Obrigada!!

por **LuizAquino** » Sex Mar 23, 2012 10:40

Pri Ferreira escreveu:O produto das 3 raízes da equação $({3}^{log {}_{x}{3}}).({x}^{log{}_{3}{x}})= 9$ é o número n. O valor de n é igual a:
(A) 1
(B) 3
(C) 9
(D) 27

Pri Ferreira escreveu: Por favor!!! Tentei e não consegui!!

Aplicando as propriedades dos logaritmos, temos que:

$\left({3}^{\log_x 3}\right)\cdot \left(x^{\log_3 x}\right) = 9$

$\log_3 \left[\left({3}^{\log_x 3}\right)\cdot \left(x^{\log_3 x}\right)\right] = \log_3 9$

$\log_3 \left({3}^{\log_x 3}\right) + \log_3 \left(x^{\log_3 x}\right) = 2$

$\log_x 3 + \left(\log_3 x\right)^2 = 2$

$\dfrac{1}{log_3 x} + \left(\log_3 x\right)^2 = 2$

Fazendo a substituição $c = \log_3 x$ , temos que:

$\dfrac{1}{c} + c^2 = 2$

c^3 - 2c + 1 = 0

Resolvendo essa equação, você obtém três números reais: c_1

,

e

.

Considerando esses números, você irá resolver três equações: $c_1 = \log_3 x$ , $c_2 = \log_3 x$ e $c_3= \log_3 x$ .

Desse modo, você tem que as três soluções da equação original são: $x_1 = 3^{c_1}$ , $x_2 = 3^{c_2}$ e $x_3 = 3^{c_3}$ . Basta então calcular o produto entre essas soluções.

Agora tente terminar o exercício.

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