Calcule m na equação abaixo

por **andersontricordiano** » Qui Jan 12, 2012 13:06

Para que valores de m a equação ${-x}^{2}+({log}_{3}m)x-\frac{1}{4}=0$ , na variável x apresenta duas raízes?

Resposta:

$0<m\leq\frac{1}{3}$ ou $m\geq3$

por **ant_dii** » Qui Jan 12, 2012 14:32

Faça assim...
Primeiro escreva $A=\log_3m$ .

Daí
$-x^2+Ax-\frac{1}{4}=0$ .

Por Bhaskara, teremos

$x=\frac{-A \pm \sqrt{A^2-4(-1)\left(\frac{-1}{4}\right)}}{-2} \Rightarrow x=\frac{A \mp \sqrt{A^2-1}}{2}$

Esta equação somente terá duas equações quando
$A^2-1\geq 0$ de onde $\sqrt{A^2} \geq \sqrt{1} \Rightarrow |A| \geq 1$ que implica em

$A \geq 1 \Rightarrow \log_3m\geq 1 \Rightarrow 3^{\log_3m} \geq 3^1 \Rightarrow m\geq 3$

ou
$-A \geq 1 \Rightarrow A \leq -1 \Rightarrow \log_3m \leq -1\Rightarrow 3^{\log_3m} \leq 3^{-1} \Rightarrow m\leq \frac{1}{3}$ .

Como $\log$ é definido somente para números positivos deve-se ter 0<m

.

Portanto, $0<m\leq \frac{1}{3}$ ou $m\geq 3$ .

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