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Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Qui Out 14, 2010 18:15

Eu tenho algumas questões desse tipo que não estou conseguindo resolver.

Se a , b e c são reais positivos com a\not=1 e ac\not=1, prove que:


log_ab=(log_{ac}b).(1+log_ac)
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor MarceloFantini » Qui Out 14, 2010 19:40

Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)

O que mostra a necessidade de ac \neq 1, caso contrário esse \log seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b

Provado.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 17:01

Fantini escreveu:Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)

O que mostra a necessidade de ac \neq 1, caso contrário esse \log seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b

Provado.


Nossa é um pouco chato vou tentar fazer os outros aqui.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 18:02

Olá estou tendo dificuldade em prova essa aqui eu acabo achando outro resultado.

Se a, b e c são reais positivos e diferentes de 1 e a= b.c prove que:

\frac{1}{log_ac}=1+\frac{1}{log_bc}

Bmo vo passar o que resolvi aqui e achei outro resultado.

1+\frac{1}{log_bc}=\frac{log_bc+1}{log_bc}=\frac{log_bc+log_bb}{log_bc}=\frac{log_b(b.c)}{log_bc}=\frac{log_ba}{log_bc}=log_ca=\frac{log_aa}{log_ac}=\frac{1}{log_ac}

Editado conforme a ajuda do amigo fantini.
Editado pela última vez por DanielRJ em Sex Out 15, 2010 18:14, em um total de 1 vez.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 18:12

A^{logB}=B^{logA}
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor MarceloFantini » Sex Out 15, 2010 18:41

Sejam \log B = x e \log A = y. Então A^{\log B} = A^x \rightarrow \log A^x = x \log A = \log B \cdot \log A = \log B \cdot y = y \log B = \log B^y

Note que \log A^x = \log B^y \rightarrow 10^{B^y} = 10^{A^x} \rightarrow A^x = B^y \rightarrow A^{\log B} = B^{\log A}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}