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Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Qui Out 14, 2010 18:15

Eu tenho algumas questões desse tipo que não estou conseguindo resolver.

Se a , b e c são reais positivos com a\not=1 e ac\not=1, prove que:


log_ab=(log_{ac}b).(1+log_ac)
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor MarceloFantini » Qui Out 14, 2010 19:40

Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)

O que mostra a necessidade de ac \neq 1, caso contrário esse \log seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b

Provado.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 17:01

Fantini escreveu:Daniel, vou sair do segundo lado e chegar no primeiro. Primeiro, note que:

1 + \log_a c = \log_a a + \log_a c = \log_a (ac)

O que mostra a necessidade de ac \neq 1, caso contrário esse \log seria zero e o produto seria zero. Vamos ao produto:

(\log_{ac} b) \cdot (1 + \log_a c) = (\log_{ac} b) \cdot (\log_a (ac)) = \left( \frac{\log_a b}{\log_a ac} \right) \cdot (\log_a (ac)) = \log_a b

Provado.


Nossa é um pouco chato vou tentar fazer os outros aqui.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 18:02

Olá estou tendo dificuldade em prova essa aqui eu acabo achando outro resultado.

Se a, b e c são reais positivos e diferentes de 1 e a= b.c prove que:

\frac{1}{log_ac}=1+\frac{1}{log_bc}

Bmo vo passar o que resolvi aqui e achei outro resultado.

1+\frac{1}{log_bc}=\frac{log_bc+1}{log_bc}=\frac{log_bc+log_bb}{log_bc}=\frac{log_b(b.c)}{log_bc}=\frac{log_ba}{log_bc}=log_ca=\frac{log_aa}{log_ac}=\frac{1}{log_ac}

Editado conforme a ajuda do amigo fantini.
Editado pela última vez por DanielRJ em Sex Out 15, 2010 18:14, em um total de 1 vez.
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor DanielRJ » Sex Out 15, 2010 18:12

A^{logB}=B^{logA}
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Re: Logaritmos.( Prove tal afirmação )

Mensagempor MarceloFantini » Sex Out 15, 2010 18:41

Sejam \log B = x e \log A = y. Então A^{\log B} = A^x \rightarrow \log A^x = x \log A = \log B \cdot \log A = \log B \cdot y = y \log B = \log B^y

Note que \log A^x = \log B^y \rightarrow 10^{B^y} = 10^{A^x} \rightarrow A^x = B^y \rightarrow A^{\log B} = B^{\log A}
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.