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Logarítmos - Como resolver esta expressão

Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor petras » Qui Out 20, 2016 10:35

Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
{2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}
com n \in N - {0} então n é igual a: R: 2 \sqrt[]{x})
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Out 22, 2016 17:16

petras escreveu:Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
{2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}
com n \in N - {0} então n é igual a: R: 2 \sqrt[]{x})


De início, aplicamos uma das propriedades de potência, veja:

\\ \mathsf{2^{- 1} \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{- 5} \cdot ... \cdot 2^{1 - 2n} = \left ( \frac{1}{16} \right )^x} \\\\ \mathsf{2^{- 1 - 3 - 5 - ... - (1 - 2n)} = (2^{- 4})^x} \\\\ \mathsf{2^{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)]} = 2^{- 4x}}

Igualando os expoentes,

\\ \mathsf{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)] = - 4x} \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)}}_{P.A \ crescente \ cuja \ raz\~ao \ vale \ 2} = 4x}

Assim, podemos encontrar o valor da soma aplicando o conceito de progressão aritmética, veja:

\\ \begin{cases} \mathsf{a_1 = 1} \\ \mathsf{r = 2} \\ \mathsf{a_n = 2n - 1} \\ \mathsf{n = n} \\ \mathsf{S_n = ?}\end{cases} \\\\\\ \mathsf{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{(1 + 2n - 1)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{2n \cdot n}{2} \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_n = n^2}}}

Por fim, temos que:

\\ \mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 4x} \\\\ \mathsf{n^2 = 4x} \\\\ \mathsf{n = \pm 2\sqrt{x}, \ mas \ n \in \mathbb{N}^{\ast}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{n = 2\sqrt{x}}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor petras » Seg Out 24, 2016 09:19

Grato Daniel pela ajuda, Estava trabalhando apenas com a parte final da expressão por isso não conseguia chegar na resposta.
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor DanielFerreira » Seg Out 24, 2016 22:08

Não há de quê, meu caro!

Ajude, também, quando souber!
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}