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Logarítmos - Como resolver esta expressão

Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor petras » Qui Out 20, 2016 10:35

Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
{2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}
com n \in N - {0} então n é igual a: R: 2 \sqrt[]{x})
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Out 22, 2016 17:16

petras escreveu:Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
{2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}
com n \in N - {0} então n é igual a: R: 2 \sqrt[]{x})


De início, aplicamos uma das propriedades de potência, veja:

\\ \mathsf{2^{- 1} \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{- 5} \cdot ... \cdot 2^{1 - 2n} = \left ( \frac{1}{16} \right )^x} \\\\ \mathsf{2^{- 1 - 3 - 5 - ... - (1 - 2n)} = (2^{- 4})^x} \\\\ \mathsf{2^{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)]} = 2^{- 4x}}

Igualando os expoentes,

\\ \mathsf{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)] = - 4x} \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)}}_{P.A \ crescente \ cuja \ raz\~ao \ vale \ 2} = 4x}

Assim, podemos encontrar o valor da soma aplicando o conceito de progressão aritmética, veja:

\\ \begin{cases} \mathsf{a_1 = 1} \\ \mathsf{r = 2} \\ \mathsf{a_n = 2n - 1} \\ \mathsf{n = n} \\ \mathsf{S_n = ?}\end{cases} \\\\\\ \mathsf{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{(1 + 2n - 1)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{2n \cdot n}{2} \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_n = n^2}}}

Por fim, temos que:

\\ \mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 4x} \\\\ \mathsf{n^2 = 4x} \\\\ \mathsf{n = \pm 2\sqrt{x}, \ mas \ n \in \mathbb{N}^{\ast}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{n = 2\sqrt{x}}}}
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor petras » Seg Out 24, 2016 09:19

Grato Daniel pela ajuda, Estava trabalhando apenas com a parte final da expressão por isso não conseguia chegar na resposta.
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Re: Logarítmos - Como resolver esta expressão

Mensagempor DanielFerreira » Seg Out 24, 2016 22:08

Não há de quê, meu caro!

Ajude, também, quando souber!
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?