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Logaritmo - Valor de X e Y

Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor Lana Brasil » Seg Jul 21, 2014 22:12

Boa Noite.
Comecei a resolver esse exercício e cheguei num sistema, ficou muito grande. Desisti porque achei que fiz errado. Podem me ajudar, por favor? Obrigada pela ajuda!!
Se x e y são números naturais satisfazendo log(8) x + log(4)y² = 6 e log(4)x² + log(8)y = 10, qual o valor de ?xy? (os números entre parêntesis são as bases).
Lana Brasil
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Re: Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor e8group » Ter Jul 22, 2014 00:57

Uma forma ...


Suponha que L = \sqrt{xy} então L^2 = |xy| = xy (*) .Aplicamos o logaritmo (de base 8) em ambos os membros teremos log_8(L^2) = 2 log_8(L) = log_8(xy) = log_8(x) +  log_8(y) (**) .

Agora 'somamos' as equações ...

log_8(x) + log_4(y^2) + (log_4 (x^2) + log_8(y)) = 6 + 10  \iff  ( log_8(x) + log_8(y)) + (log_4(x^2) + log_4(y^2)) = 16  \iff  ( log_8(x) + log_8(y)) + 2 log_4 (xy)  = 16 .

Usando (*) e (**) nós temos

2 log_8(L) + 4 log_4(L)  = 16  \iff  log_8(L) + 2 log_4(L) = 8 .

Fazendo mudança de base (para 2 ) ...

2 \frac{log_2(L) }{log_2(8) } + 4 \frac{log_2(L)}{log_2(4)} = 16 \iff    \frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L) = 16 .

Tente avançar
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Re: Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor Pessoa Estranha » Ter Jul 22, 2014 01:10

Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6

log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10

Fazendo algumas manipulações, segue

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18

Da mesma forma, vem que

log_2{y} + 3log_2{x} = 30

Assim, temos um sistema e segue

log_2{x} = 18 - 3log_2{y}

log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8

E

log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}

Logo,

\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: O seu também deu 64????
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Re: Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor e8group » Ter Jul 22, 2014 01:45

Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6

log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10

Fazendo algumas manipulações, segue

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18

Da mesma forma, vem que

log_2{y} + 3log_2{x} = 30

Assim, temos um sistema e segue

log_2{x} = 18 - 3log_2{y}

log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8

E

log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}

Logo,

\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: O seu também deu 64????


Hahhah sem problemas amigo(a) , isso já aconteceu muito comigo(realmente é difícil apagar dps de tanto esforço p/ redigir) , você que se engana ... (ainda não sou tão rápido no sistema LaTeX) . Não precisa pedir desculpas , novas opiniões , ajudas são sempre bem vindas !! Bem não chequei o resultado , parece que você preferiu encontrar primeiro x,y ...vejamos
Partindo dá última eq. temos
\frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L)  = 16 então log_2(L)[\frac{1}{3} + 1] =8 então log_2(L) =  8 \cdot \frac{3}{4} = 6 e assim L = 2^6  = 64 .

Parece que deu certo , ou então nós 2 erramos .

Abraço
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Re: Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor Lana Brasil » Ter Jul 22, 2014 11:48

santhiago escreveu:
Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6

log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10

Fazendo algumas manipulações, segue

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18

Da mesma forma, vem que

log_2{y} + 3log_2{x} = 30

Assim, temos um sistema e segue

log_2{x} = 18 - 3log_2{y}

log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8

E

log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}

Logo,

\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: O seu também deu 64????


Hahhah sem problemas amigo(a) , isso já aconteceu muito comigo(realmente é difícil apagar dps de tanto esforço p/ redigir) , você que se engana ... (ainda não sou tão rápido no sistema LaTeX) . Não precisa pedir desculpas , novas opiniões , ajudas são sempre bem vindas !! Bem não chequei o resultado , parece que você preferiu encontrar primeiro x,y ...vejamos
Partindo dá última eq. temos
\frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L)  = 16 então log_2(L)[\frac{1}{3} + 1] =8 então log_2(L) =  8 \cdot \frac{3}{4} = 6 e assim L = 2^6  = 64 .

Parece que deu certo , ou então nós 2 erramos .

Abraço


Nossa adorei vcs 2!! Obrigada pela grande ajuda e boa vontade. Abraços!!!
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Re: Logaritmo - Valor de X e Y

Mensagempor Lana Brasil » Ter Jul 22, 2014 11:48

Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6

log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10

Fazendo algumas manipulações, segue

log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18

Da mesma forma, vem que

log_2{y} + 3log_2{x} = 30

Assim, temos um sistema e segue

log_2{x} = 18 - 3log_2{y}

log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8

E

log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}

Logo,

\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :-D :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: O seu também deu 64????


Nossa adorei vcs 2!! Obrigada pela grande ajuda e boa vontade. Abraços!!!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}