Logaritmo - Valor de X e Y

por **Lana Brasil** » Seg Jul 21, 2014 22:12

Boa Noite.
Comecei a resolver esse exercício e cheguei num sistema, ficou muito grande. Desisti porque achei que fiz errado. Podem me ajudar, por favor? Obrigada pela ajuda!!
Se x e y são números naturais satisfazendo log(8) x + log(4)y² = 6 e log(4)x² + log(8)y = 10, qual o valor de ?xy? (os números entre parêntesis são as bases).

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 00:57

Uma forma ...

Suponha que $L = \sqrt{xy}$ então L^2 = |xy| = xy (*)

.Aplicamos o logaritmo (de base 8) em ambos os membros teremos log_8(L^2) = 2 log_8(L) = log_8(xy) = log_8(x) + log_8(y) (**)

.

Agora 'somamos' as equações ...

$log_8(x) + log_4(y^2) + (log_4 (x^2) + log_8(y)) = 6 + 10 \iff ( log_8(x) + log_8(y)) + (log_4(x^2) + log_4(y^2)) = 16 \iff ( log_8(x) + log_8(y)) + 2 log_4 (xy) = 16$ .

Usando (*) e (**) nós temos

$2 log_8(L) + 4 log_4(L) = 16 \iff log_8(L) + 2 log_4(L) = 8$ .

Fazendo mudança de base (para 2 ) ...

$2 \frac{log_2(L) }{log_2(8) } + 4 \frac{log_2(L)}{log_2(4)} = 16 \iff \frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L) = 16$ .

Tente avançar

por **Pessoa Estranha** » Ter Jul 22, 2014 01:10

Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6$

$log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10$

Fazendo algumas manipulações, segue

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18$

Da mesma forma, vem que

$log_2{y} + 3log_2{x} = 30$

Assim, temos um sistema e segue

$log_2{x} = 18 - 3log_2{y}$

$log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8$

E

$log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}$

Logo,

$\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64$

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! :-D

O seu também deu 64????

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 01:45

Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6$

$log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10$

Fazendo algumas manipulações, segue

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18$

Da mesma forma, vem que

$log_2{y} + 3log_2{x} = 30$

Assim, temos um sistema e segue

$log_2{x} = 18 - 3log_2{y}$

$log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8$

E

$log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}$

Logo,

$\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64$

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! O seu também deu 64????

Hahhah sem problemas amigo(a) , isso já aconteceu muito comigo(realmente é difícil apagar dps de tanto esforço p/ redigir) , você que se engana ... (ainda não sou tão rápido no sistema LaTeX) . Não precisa pedir desculpas , novas opiniões , ajudas são sempre bem vindas !! Bem não chequei o resultado , parece que você preferiu encontrar primeiro x,y

...vejamos
Partindo dá última eq. temos
$\frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L) = 16$ então $log_2(L)[\frac{1}{3} + 1] =8$ então $log_2(L) = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ e assim L = 2^6 = 64

.

Parece que deu certo , ou então nós 2 erramos .

Abraço

por **Lana Brasil** » Ter Jul 22, 2014 11:48

santhiago escreveu:
Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6$

$log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10$

Fazendo algumas manipulações, segue

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18$

Da mesma forma, vem que

$log_2{y} + 3log_2{x} = 30$

Assim, temos um sistema e segue

$log_2{x} = 18 - 3log_2{y}$

$log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8$

E

$log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}$

Logo,

$\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64$

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! O seu também deu 64????

Hahhah sem problemas amigo(a) , isso já aconteceu muito comigo(realmente é difícil apagar dps de tanto esforço p/ redigir) , você que se engana ... (ainda não sou tão rápido no sistema LaTeX) . Não precisa pedir desculpas , novas opiniões , ajudas são sempre bem vindas !! Bem não chequei o resultado , parece que você preferiu encontrar primeiro ...vejamos
Partindo dá última eq. temos
$\frac{2}{3} log_2(L) + 2 log_2(L) = 16$ então $log_2(L)[\frac{1}{3} + 1] =8$ então $log_2(L) = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6$ e assim .

Parece que deu certo , ou então nós 2 erramos .

Abraço

Nossa adorei vcs 2!! Obrigada pela grande ajuda e boa vontade. Abraços!!!

por **Lana Brasil** » Ter Jul 22, 2014 11:48

Pessoa Estranha escreveu:Olá! Vou tentar ajudar...

Temos

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6$

$log_4{{x}^{2}} + log_8{y} = 10$

Fazendo algumas manipulações, segue

$log_8{x} + log_4{{y}^{2}} = 6 \rightarrow \frac{log_2{x}}{3} + \frac{2log_2{y}}{2} = 6 \rightarrow log_2{x} + 3log_2{y} = 18$

Da mesma forma, vem que

$log_2{y} + 3log_2{x} = 30$

Assim, temos um sistema e segue

$log_2{x} = 18 - 3log_2{y}$

$log_2{y} = 3 \rightarrow y = 8$

E

$log_2{x} = 9 \rightarrow x = {2}^{9}$

Logo,

$\sqrt[]{8.{2}^{9}} = \sqrt[]{{2}^{12}} = \sqrt[]{2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2.2} = {2}^{6} = 64$

Aiiiiiii!!!!!!!!!!! Santhiago, você é muito rápido! No outro exercício foi a mesma coisa! Eu estava escrevendo a minha resposta e, quando termino e vejo, a sua já está lá! Só vou postar a minha por dó de apagar tudo.... Desculpas!!!! O seu também deu 64????