[Logaritmo] Função Logarítmica

por **Fernando Weber** » Seg Fev 25, 2013 22:39

$f(x)= \log_a x + m$

f(1)= 3

Sabendo que g(x) = f(x) - 3

, o valor de $g^{-1}(-4)$ é:

Imagem

É uma questão da UFSM, não conseguí chegar no resultado correto.
Acho as variáveis "a" e "m", mas paro quando chego na função $g^{-1}(-4)$ .

por **DanielFerreira** » Ter Fev 26, 2013 00:26

De

tiramos:

$\\ f(x) = \log_a x + m \\\\ f(1) = \log_a 1 + m \\\\ 3 = \log_a a^0 + m \\\\ \boxed{m = 3}$

De f(9) = 1

...

$\\ f(x) = \log_a x + m \\\\ f(9) = \log_a 9 + 3 \\\\ 1 = \log_a 3^2 + 3 \\\\ 2 \cdot \log_a 3 = - 2 \\\\ \log_a 3 = - 1 \\\\ \boxed{a = \frac{1}{3}}$

Em busca de g(x)

...

Sabemos, do enunciado, que: g(x) = f(x) - 3

, então,

$\\ g(x) = \log_{\frac{1}{3}} x + \cancel{3} - \cancel{3} \\\\ g(x) = \frac{\log x}{\log \frac{1}{3}} \\\\\\ g(x) = \frac{\log x}{\log 3^{- 1}} \\\\\\ g(x) = - \frac{\log x}{\log 3} \Leftrightarrow y = - \frac{\log x}{\log 3} \\\\\\ x = - \frac{\log y}{\log 3} \\\\ \log y = - x \cdot \log 3 \\\\ \log y = \log 3^{- x} \\\\ y = 3^{- x} \\\\ g^{- 1}(x) = 3^{- x} \\\\ g^{- 1}(- 4) = 3^4 \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{g^{- 1}(- 4) = 81}}}$