[Logaritmos] equação com logaritmos

por **natanaelvoss** » Sex Dez 07, 2012 20:25

Tendo-se a e b como números reais positivos, e sendo b diferente de 1, se $log_2{a}+\frac{1}{log_b{2}}=6$ , então a.b é igual a?

O gabarito é 64, mas não consigo passar do primeiro passo:

$log_2{a}+\frac{1}{log_b{2}}=6$

$\frac{log_2{a}.log_b{2} + 1}{log_b{2}}=6$

por **e8group** » Sex Dez 07, 2012 20:40

Note que ,

$log_b ( 2) = \frac{log_ 2(2)}{log_2(b)} = \frac{1}{log_2(b)} \implies [log_b(2)]^{-1} = \left( \frac{1}{log_2(b)}\right )^{-1} \implies \frac{1}{log_b(2)} = log_2(b)$ .
Assim , $log_2(a) + log_2(b) = log_2(a\cdot b) = 6 = 6 \cdot log_2 2 = log_2 (2^6)$

Portanto ,

$\boxed {a\cdot b = 2^6 = 64 }$