[Progressão Geométrica e Logaritmo]

por **JU201015** » Seg Nov 19, 2012 00:36

(UFRGS) Considere esta progressão geométrica:
3 ; 0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...
Os logaritmos decimais de cada um destes números, na ordem em que estão dispostos, formam uma:
a) progressão geométrica de razão 0,01.
b) progressão geométrica de razão 0,1;
c) progressão aritmética de razão 0,1.
d) progressão aritmética de razão -1.
e) progressão geométrica de razão -1.
Não sei como analisar a diferença entre os logaritmos. Me ajudem?

por **e8group** » Seg Nov 19, 2012 09:22

Bom dia , basta notar que em uma P.G temos ,

a_1 = k

$a_2 = a_1 \cdot q$
$a_3 = a_2 \cdot q = a_1 \cdot q^2$
$\vdots$

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Com isso nos temos que ,

$3\cdot q = 0,3 ; 0,3 \cdot q = 0,03 \ (...)$

É fácil ver que , q = 0,1

por **replay** » Seg Nov 19, 2012 11:41

Desculpe interferir no tópico que nem é meu.
Mas eu acho que nem precisaria de calculo, é que parece que fica meio óbvio que é 0,1.
Mas a duvida é: O exercicio espera que o aluno saiba reconhecer uma PA ou PG ? Seria isso ?

por **MarceloFantini** » Seg Nov 19, 2012 12:45

Ju escreveu:(UFRGS) Considere esta progressão geométrica:
3 ; 0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...
Os logaritmos decimais de cada um destes números, na ordem em que estão dispostos

Nós já temos uma progressão geométrica dada por $3 \cdot 10^{-n}$ . Ele quer que consideremos os logaritmos decimais, logo devemos tomar

$b_n = \log_{10} a_n = \log_{10} 3 \cdot 10^{-n} = \log_{10} 3 -n \log_{10} 10 = \log_{10} 3 - n$ .

Façamos a diferença entre dois termos consecutivos:

$b_{n+1} - b_n = (\log_{10} 3 - (n+1)) - (\log_{10} 3 - n) = -n -1 + n = -1$ ,

portanto é uma progressão aritmética de razão -1[/tex].

Note que é fácil errar estando desatento, pois ele dá uma sequência e depois diz "[...] números, na ordem em que estão dispostos, formam uma" e nisso marcam progressão geométrica de razão 0,1.

Replay, fique a vontade. Todos estão encorajados a contribuir positivamente nas discussões. :y:

por **JU201015** » Seg Nov 19, 2012 13:11

MarceloFantini escreveu:
Ju escreveu:(UFRGS) Considere esta progressão geométrica:
3 ; 0,3 ; 0,03 ; 0,003 ; ...
Os logaritmos decimais de cada um destes números, na ordem em que estão dispostos

Nós já temos uma progressão geométrica dada por $3 \cdot 10^{-n}$ . Ele quer que consideremos os logaritmos decimais, logo devemos tomar

$b_n = \log_{10} a_n = \log_{10} 3 \cdot 10^{-n} = \log_{10} 3 -n \log_{10} 10 = \log_{10} 3 - n$ .

Façamos a diferença entre dois termos consecutivos:

$b_{n+1} - b_n = (\log_{10} 3 - (n+1)) - (\log_{10} 3 - n) = -n -1 + n = -1$ ,

portanto é uma progressão aritmética de razão -1[/tex].

Note que é fácil errar estando desatento, pois ele dá uma sequência e depois diz "[...] números, na ordem em que estão dispostos, formam uma" e nisso marcam progressão geométrica de razão 0,1.

Replay, fique a vontade. Todos estão encorajados a contribuir positivamente nas discussões.

Muito obrigada MarceloFantini!! Até que enfim alguém respondeu de acordo com o gabarito kkk Mas ainda tenho uma duvidazinha rsrs Bom, quando chega em "-n -1 +n= -1", como vc chega a conclusão de que é uma PA de razão -1? Eu não consegui enxergar isso.

por **MarceloFantini** » Seg Nov 19, 2012 13:29

A definição de progressão aritmética é que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Seguindo isso, tomei dois termos consecutivos e calculei sua diferença, que se mostrou constante. Portanto é uma progressão aritmética.

por **JU201015** » Seg Nov 19, 2012 14:03

MarceloFantini escreveu:A definição de progressão aritmética é que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Seguindo isso, tomei dois termos consecutivos e calculei sua diferença, que se mostrou constante. Portanto é uma progressão aritmética.

Muitíssimo obrigada^^