[Logaritmo]-PAES UNIMONTES

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 10:01

A partir de um certo ano, a população de uma cidade passou a crescer de acordo com a função $P=50000.{(1,02)}^{n}$ em que n representa os anos e P, o número de habitantes. Sabendo-se que log1,02=0,009, depois de quantos anos aproximadamente essa cidade atingirá 500000 habitantes?
Me expliquem como se resolve questões desse tipo, por favor. Obg.

por **e8group** » Sex Nov 16, 2012 11:48

Bom dia , thamysoares . Esta função

denota o números de habitantes em função do tempo

, a medida que o tempo

vai aumentando ,o número de habitantes cresce estritamente . Neste caso particular , o exercício que vc calcule o tempo

que satisfaz o número de habitantes . p = 500000

.

Basta resolver , $500.000 = 50.000 \cdot (1,02)^n$ .Consegue terminar ?

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 15:44

santhiago escreveu:Bom dia , thamysoares . Esta função denota o números de habitantes em função do tempo , a medida que o tempo vai aumentando ,o número de habitantes cresce estritamente . Neste caso particular , o exercício que vc calcule o tempo que satisfaz o número de habitantes . .

Basta resolver , $500.000 = 50.000 \cdot (1,02)^n$ .Consegue terminar ?

Deu aproximadamente 111 anos. Está correto?

por **e8group** » Sex Nov 16, 2012 16:12

Isso mesmo , estar correto

$500.000 = 50.000(1,02)^n = 5\cdot 10^4 (1,02)^n = 5\cdot 10^{5}$

Multiplicando ambos lados por $1/( 5 \cdot 10^4 )$ vem que ,

$5\cdot 10^4 (1,02)^n = 5\cdot 10^{5} = (5\cdot 10^4 (1,02)^n ) \cdot \frac{1}{5\cdot 10^4}= (5\cdot 10^{5}) \cdot \frac{1}{5\cdot 10^4} = 10 =(1,02)^n$ .

Aplicando logaritmo ,

$log(10) = log(1,02)^n = n \cdot log(1,02) = 1$

Pelo enunciado , $log(1,02) \approx 0,009 = 0,009 \cdot 1000 /1000 = 9/1000 = 9 \cdot 10^{-3}$

Daí , $n = \frac{1}{9 \cdot 10^{-3} } = \frac{10^3}{9} = \frac{999}{9} + \frac{1}{9} = 111 + 0,\bar{1} \approx 111 \text{anos}$

por **thamysoares** » Sex Nov 16, 2012 16:34

santhiago escreveu:Isso mesmo , estar correto

$500.000 = 50.000(1,02)^n = 5\cdot 10^4 (1,02)^n = 5\cdot 10^{5}$

Multiplicando ambos lados por $1/( 5 \cdot 10^4 )$ vem que ,

$5\cdot 10^4 (1,02)^n = 5\cdot 10^{5} = (5\cdot 10^4 (1,02)^n ) \cdot \frac{1}{5\cdot 10^4}= (5\cdot 10^{5}) \cdot \frac{1}{5\cdot 10^4} = 10 =(1,02)^n$ .

Aplicando logaritmo ,

$log(10) = log(1,02)^n = n \cdot log(1,02) = 1$

Pelo enunciado , $log(1,02) \approx 0,009 = 0,009 \cdot 1000 /1000 = 9/1000 = 9 \cdot 10^{-3}$

Daí , $n = \frac{1}{9 \cdot 10^{-3} } = \frac{10^3}{9} = \frac{999}{9} + \frac{1}{9} = 111 + 0,\bar{1} \approx 111 \text{anos}$