Estudo de uma Função Logaritmica

por **Ice** » Dom Jul 24, 2011 18:06

Olá.

É a minha primeira dúvida por aqui mas esta está complicada para mim.

Estou a efectuar o estudo da seguinte função:

$f(x) = ln(x^2 +1) - \frac{1}{x}$

Já consegui calcular:

- o dominio como $\Re$ \{0}
- uma assimptota vertical em x=0

- a derivada de

e os respectivos zeros/raizes
- os limites $\lim_{x\rightarrow{0}^{-}}$ , $\lim_{x\rightarrow{0}^{+}}$ , $\lim_{x\rightarrow-\infty}$ e $\lim_{x\rightarrow+\infty}$

No entanto agora estou com problemas em calcular os zeros/raizes de f(x)

.
Intuitivamente sei que existe um zero e já confirmei traçando o gráfico mas ao fazer as contas não estou a conseguir isolar o

depois de chegar ao seguinte estado:

${e}^{\frac{1}{x}}=x^2+1$

Obrigado pela atenção.

por **LuizAquino** » Dom Jul 24, 2011 21:02

Ice escreveu:Intuitivamente sei que existe um zero e já confirmei traçando o gráfico mas ao fazer as contas não estou a conseguir isolar o x depois de chegar ao seguinte estado:

${e}^{\frac{1}{x}}=x^2+1$

Esse tipo de equação é chamada de transcendental. Não há uma forma analítica de resolvê-la. Para solucioná-la é necessário usar alguma técnica numérica, como por exemplo o Método de Newton.

Vale lembrar que no estudo da função pode ser suficiente apenas identificar aproximadamente onde está a raiz, sem necessariamente calculá-la exatamente.

por **Ice** » Dom Jul 24, 2011 21:14

Obrigado pela resposta!
Sendo assim, o melhor que devo conseguir é utilizar a intuição e o Teorema de Bolzano-Cauchy para provar que existe uma raiz num determinado intervalo.

por **LuizAquino** » Dom Jul 24, 2011 21:30

Ice escreveu:Sendo assim, o melhor que devo conseguir é utilizar a intuição e o Teorema de Bolzano-Cauchy para provar que existe uma raiz num determinado intervalo.

Sim.