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III-ESA-2006

III-ESA-2006

Mensagempor heroncius » Ter Set 18, 2007 21:50

uma empresa de transporte estabelece por viagem o preço individual da passagem (p) em função da quantidade (q) de passageiros através da relação p= -0,2 q + 100. com 0<q<500.nestas condições para q a quantia arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja máxima, o preço da passagem deve ser , em reais de:
a)45 b)35 c)40 d)50 e)55

desde já agradeço a atenção!!!
Paulo Herôncio
heroncius
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Re: III-ESA-2006

Mensagempor admin » Qua Set 19, 2007 14:46

heroncius escreveu:uma empresa de transporte estabelece por viagem o preço individual da passagem (p) em função da quantidade (q) de passageiros através da relação p= -0,2 q + 100. com 0<q<500.nestas condições para q a quantia arrecadada pela empresa, em cada viagem, seja máxima, o preço da passagem deve ser , em reais de:
a)45 b)35 c)40 d)50 e)55

desde já agradeço a atenção!!!
Paulo Herôncio


Olá Paulo.
Este é um problema de otimização.
Primeiro temos que destacar que a quantia arrecadada em cada viagem é o produto p \cdot q, ou seja, o preço de cada passagem multiplicado pelo número de passageiros.

p \cdot q: quantia arrecadada em cada viagem
Note que este é o valor que queremos maximizar em nossa otimização.

Como: p = -0,2q + 100
pq = (-0,2q + 100)q
pq = -0,2q^2 + 100q
Vamos chamar esta função da arrecadação de A.
Como é uma função em q, temos:
A(q): função arrecadação

A(q) = -0,2q^2 + 100q
Veja que A(q) é uma função do segundo grau, formando uma parábola côncava para baixo porque o coeficiente de q^2 é negativo.
Esta informação garante que A(q) possui um máximo.

Você já deve ter visto que o valor máximo de uma função do 2º grau:
f(x) = ax^2 + bx + c
É dado por:
x = \frac{-b}{2a}

De qualquer forma, tendo ou não visto, veja como é simples chegarmos à esta conclusão:
As raízes da função de 2º grau são:
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} e x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
(considerando \Delta = b^2 - 4ac > 0)

O valor máximo de f(x) será dado quando x for a média aritmética entre as raízes

x_1 e x_2 (olhe um gráfico de parábola).
Max[f(x)] \Leftrightarrow x = \frac{x_1 + x_2}{2}
x = \frac{ \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}}{2} = \frac{\frac{-b - b}{2a}}{2} = \frac{-2b}{4a} = \frac{-b}{2a}
(repare que caso a parábola seja côncava para cima, a função possuirá valor mínimo e o cálculo será análogo)


Voltando para a função arrecadação:
A(q) = -0,2q^2 + 100q

Então, seu valor máximo será quando:
q = \frac{-100}{2 \cdot (-0,2)} = \frac{-100}{-0,4} = \frac{100}{\frac{4}{10}} =  \frac{100 \cdot 10}{4} = 25 \cdot 10 = 250 (passageiros)

E por fim, respondendo à questão, precisamos saber qual o preço da passagem para esta quantidade de passageiros:
p = -0,2q + 100
p = -0,2 \cdot 250 + 100 = -50 + 100
p = 50 Reais (alternativa d)


Paulo, dois comentários:
1) repare que o intervalo citado no enunciado 0<q<500 é justamente o intervalo entre as raízes da função arrecadação.
Esta condição da quantidade passageiros garante que a arrecadação fique sempre positiva!

2) Uma outra pergunta que poderia ser feita e facilmente respondida após esta resolução é a seguinte:
Qual então será a arrecadação máxima obtida pela empresa em cada viagem?

Como sabemos que:
A(q) = p \cdot q
Então:
A(250) = 50 \cdot 250 = 12.500 (Reais)


Espero ter ajudado.
Abraço!
Fábio Sousa
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Re: III-ESA-2006

Mensagempor heroncius » Qua Set 19, 2007 21:59

olá Fábio...ajudou muito.
mais uma vez obrigado

abraço!!!
heroncius
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D