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função polinomial

MensagemEnviado: Ter Ago 21, 2012 13:54
por Marcos Roberto
Boa tarde:
Gostaria de uma ajuda para resolver:
seja p(x) = x^3 - x , mostrar que |p(x)|<1 se x \in[-1,1]
A minha dúvida é como resolver |x^3-x|<1?
muito obrigado.

Re: função polinomial

MensagemEnviado: Ter Ago 21, 2012 20:04
por MarceloFantini
Note que se x \in [-1,1] então |x| \leq 1, pois o maior e menor valor que pode assumir são 1 e -1, respectivamente. Agora, se -1 \leq x \leq 1, então x^2 \leq 1 e -1 \leq x^2 -1 \leq 0.

Finalmente, perceba que x^3 - x = x(x^2 -1), portanto |p(x)| = |x^3 -x| = |x(x^2 -1)| = |x| |x^2 -1| \leq 1 |x^2 -1| \leq 1.

Re: função polinomial

MensagemEnviado: Ter Ago 21, 2012 23:39
por Marcos Roberto
Muito obrigado, Marcelo!