função polinomial

por **Marcos Roberto** » Ter Ago 21, 2012 13:54

Boa tarde:
Gostaria de uma ajuda para resolver:
seja p(x) = x^3 - x , mostrar que |p(x)|<1 se x $\in$ [-1,1]
A minha dúvida é como resolver |x^3-x|<1?
muito obrigado.

por **MarceloFantini** » Ter Ago 21, 2012 20:04

Note que se $x \in [-1,1]$ então $|x| \leq 1$ , pois o maior e menor valor que pode assumir são 1 e -1, respectivamente. Agora, se $-1 \leq x \leq 1$ , então $x^2 \leq 1$ e $-1 \leq x^2 -1 \leq 0$ .

Finalmente, perceba que x^3 - x = x(x^2 -1)

, portanto $|p(x)| = |x^3 -x| = |x(x^2 -1)| = |x| |x^2 -1| \leq 1 |x^2 -1| \leq 1$ .

por **Marcos Roberto** » Ter Ago 21, 2012 23:39

Muito obrigado, Marcelo!

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