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[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

[Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Dom Jul 29, 2012 14:54

Estou fazendo as questões da última prova do POSCOMP, e estou com dúvidas na interpretação de uma questão:

Questão 10: A proporção de computadores acessando um provedor em um dado instante t a partir das 8 horas é dada
por:

N(t)=\frac{1}{1+{3e}^{-kt}}

onde o instante t é dado em horas e k é uma constante positiva.
A proporção estimada de computadores acessando este provedor ao meio-dia é de: (ai existem as alternativas, sendo a correta segundo a gabarito a letra d)

d)

\frac{1}{k}ln\frac{(3+{e}^{4k})}{4}

Bom, eu não sei se entendi direito a questão. Me pareceu que bastava aplicar 12 em t, e então fazer alguns ajustes para obter a reposta. Eu comecei aplicando 12 na questão e obtive:

N(12)=\frac{1}{1+{3e}^{-12k}}

N(12)=\frac{1}{1+\frac{1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{1}{\frac{{3e}^{12k}+1}{{3e}^{12k}}}

N(12)=\frac{{3e}^{12k}}{{3e}^{12k}+1}

Chegando aqui eu travo. Com certeza eu estou no caminho errado (não tenho certeza se entendi bem a questão). Parece que a solução não tem nada a ver com o que eu estou fazendo. Se alguém que tiver entendido a questão puder me explicar, eu ficaria muito grato.
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 15:35

Olá hlustosa,
seja bem-vindo(a)!
De acordo com o enunciado, o instante t é aquele contado a partir das 8 horas, então:

t = 12 - 8

t = 4
"Sabedoria é saber o que fazer;
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 29, 2012 16:03

N(4) = \frac{1}{1 + 3 \times \left (\frac{1}{e}  \right )^{4k}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{1 + \frac{3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{1}{\frac{e^{4k} + 3}{e^{4k}}} \\\\\\ N(4) = \frac{e^{4k}}{e^{4k} + 3}

(...)
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Re: [Questão POSCOMP 2011] Ajuda para interpretar questão

Mensagempor hlustosa » Seg Jul 30, 2012 01:13

Obrigado danjr5, realmente foi falta de atenção minha nesses dois pontos que você citou. Mas ainda o valor obtido está diferente da solução. Como tinha um ln na expressão algebrica, eu resolvi integrar a função no intervalo de 0 até 4, e consegui chegar na resposta. Mas é chato, porque eu não entendi isso a partir do enunciado, foi praticamente tentativa e erro. Eis o que eu fiz:

f(x) = \frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}}

A partir disso eu calculei a integral:

\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{3 + {e}^{kt}} dt

Usando o método da substituição:

u = 3+{e}^{kt}

\frac{du}{dt} = k{e}^{kt}

\frac{1}{k{e}^{kt}} du = dx

Aplicando u:

=\int_{0}^{4}\frac{{e}^{kt}}{u}.\frac{1}{k{e}^{kt}} du

=\int_{0}^{4}\frac{1}{uk} du

=\frac{1}{k}ln \left|u \right| (de 0 até 4)

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{kt} \right| (de 0 até 4)

Subtraindo:

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{0} \right|

=\frac{1}{k}ln \left|3 + {e}^{4t} \right| - \frac{1}{k}ln \left|4 \right|

Colocando 1/k em evidência

=\frac{1}{k}\left(ln\left|3 + {e}^{4t} \right|-ln\left|4\right|  \right)

Aplicando as propriedades dos logaritmos:

=\frac{1}{k}ln \frac{3 + {e}^{4t}}{4}

E é essa a solução do gabarito. Mas eu olhei pra resposta e decici fazer, eu não entendi ainda o enunciado do exercício! :-D
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?