Frações Contínua

por **rhodry** » Qua Nov 16, 2011 18:52

Olá pessoal, estou com grande dificuldade de entender fração continua, já pesquisei vários assuntos, mas quando me deparo com as especificações não consigo entender, se alguém puder me dar algumas dicas neste exercício agradeço..

a)Encontre a representação do número ?5 em frações contínuas

por **ivanfx** » Qui Nov 17, 2011 01:03

exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar $\sqrt[]{7}$ , a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ com x > 1
De $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ decorre que: $\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}$
$x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2}$ racionalizando teremos: $x = \sqrt[]{7}+ 2$
Temos portanto que $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}$

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
$\sqrt[]{7}+ 2$ é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
$\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ com y > 1
De $\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ decorre que $\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}$
$\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}$
resumindo $y = \sqrt[]{7}+ 2$
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}$

Note que x = y = $\sqrt[]{7}+ 2$ , se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = $\sqrt[]{7}+ 2$ e encontrariamos z = $\sqrt[]{7}+ 2$ , e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa $\sqrt[]{7}$ será:
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}$
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar

por **rhodry** » Qui Nov 17, 2011 17:03

ivanfx escreveu:exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar $\sqrt[]{7}$ , a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ com x > 1
De $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ decorre que: $\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}$
$x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2}$ racionalizando teremos: $x = \sqrt[]{7}+ 2$
Temos portanto que $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}$

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
$\sqrt[]{7}+ 2$ é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
$\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ com y > 1
De $\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ decorre que $\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}$
$\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}$
resumindo $y = \sqrt[]{7}+ 2$
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}$

Note que x = y = $\sqrt[]{7}+ 2$ , se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = $\sqrt[]{7}+ 2$ e encontrariamos z = $\sqrt[]{7}+ 2$ , e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa $\sqrt[]{7}$ será:
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}$
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar

por **rhodry** » Qui Nov 17, 2011 17:05

Olá Colega, estou grato pela dica que vc, me deu,,,, ajudou me muito... consegui esclarecer minhas dúvidas .abraço

por **Rosana Vieira** » Sex Nov 18, 2011 12:40

olá como eu faço para encontra as 3 primeiras frações reduzidas de ?5

por **ivanfx** » Sex Nov 18, 2011 12:58

Rosana Vieira escreveu:olá como eu faço para encontra as 3 primeiras frações reduzidas de ?5

A equação reduzida você trabalha com a resposta que você obteve quando encontrou a continua, vou utilizar a contínua que calculei, só não irei fazer todos os calculos porque só tenho 15 minutos de intervalo.
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}$
a primeira fração reduzida seria calcular $2 + \frac{1}{4 }$

a segunda fração reduzida seria calcular
$2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4}}$

e a terceira fração reduzida seria calcular
$2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4+ \frac{1}{4}}}$

Se calcular essas contas que passei vc obtém as frações reduzidas, caso ainda tenha dúvida avise, voltarei as 15:40 e terei uma aula de folga.

por **Rosana Vieira** » Sex Nov 18, 2011 14:55

Olá se alguém sober como montar a fração continua da ?5 me ajuda, pois estou com dúvida
2+1
4 + 1
4 + 1
4 + 1
4 + 1/4

2 + 1
4 + 1
4 + 1/4
não conseguir

por **Rosana Vieira** » Sex Nov 18, 2011 15:01

será que eu fiz certo a fração continua de ?5 eu tentei pela ?7
?5 = 2+1/x
?5 - 2 = 1/x
x = 1/?5 - 2
x= ?5 - 2

?5 - 2 é um número entre 4 e 5, portanto ?5 + 2 = 2+ 1/y, y > 2
?5 + 2 = 4 + 1/y
?5 + 2 - 4= 1/y
?5 - 2= 1/y
y= ?5 + 2
subs.
?5 = 2+1
4+1/?5 + 2
continuando o processo
w=?5 + 2 e z= ?5 + 2
portanto a fração continua será
?5 = 2+ 1
4 + 1
4 + 1
4 + 1
.........
Será isto

por **ivanfx** » Sex Nov 18, 2011 15:14

acredito que tenha encontrado dessa forma
$\sqrt[]{5}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}$

olha, aprenda a utilizar o editor de fórmulas, não é difícil, assim quando postar equações ou fórmulas fica mais fácil de entender, eu achava que era difícil, mas fui obrigado a aprender em um fórum que participo fora do país, ai administrador consertava pra mim, mas vivia dizendo que não consertaria, ai tentei e ficou mais fácil. Sua resposta está correta sim

por **Rosana Vieira** » Sex Nov 18, 2011 16:54

Será que as 3 primeiras frações continuas de ?5 isso
?5 = 2 + 1 (4 + 1/4) seria a primeira

2+ 1 ( 4+ 1/4) = 9/4 segunda

2+ 1(16 + 9/4)= 25/4 terceira

por **matheus_vitorf** » Qua Jul 26, 2017 15:31

ivanfx escreveu:exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar $\sqrt[]{7}$ , a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ com x > 1
De $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ decorre que: $\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}$
$x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2}$ racionalizando teremos: $x = \sqrt[]{7}+ 2$
Temos portanto que $\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}$

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
$\sqrt[]{7}+ 2$ é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
$\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ com y > 1
De $\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y}$ decorre que $\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}$
$\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}$
resumindo $y = \sqrt[]{7}+ 2$
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}$

Note que x = y = $\sqrt[]{7}+ 2$ , se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = $\sqrt[]{7}+ 2$ e encontrariamos z = $\sqrt[]{7}+ 2$ , e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa $\sqrt[]{7}$ será:
$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}$
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar

Olá, e se acontecer de nessa parte, for menor que 1?

$\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x}$ com x > 1

Eu comecei a fazer a do $\pi$ :
$\pi=3+\dfrac{1}{x}$ com x>1

$\pi-3=\dfrac{1}{x}$

$x=\dfrac{1}{\pi-3}$

$\pi=3+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\pi-3}}$

$\dfrac{1}{\pi-3}=7+\dfrac{1}{y}$

$y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\pi-3}-7}$

$y=\pi-\dfrac{22}{7}$

$\pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{\pi-\dfrac{22}{7}}}$

$\pi-\dfrac{22}{7}=0+\dfrac{1}{z}$

Dá pra ver que não dá z>1