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Frações Contínua

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Mensagempor rhodry » Qua Nov 16, 2011 18:52

Olá pessoal, estou com grande dificuldade de entender fração continua, já pesquisei vários assuntos, mas quando me deparo com as especificações não consigo entender, se alguém puder me dar algumas dicas neste exercício agradeço..

a)Encontre a representação do número √5 em frações contínuas
rhodry
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Re: Frações Contínua

Mensagempor ivanfx » Qui Nov 17, 2011 01:03

exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar \sqrt[]{7}, a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} com x > 1
De \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} decorre que:\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}
x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2} racionalizando teremos: x = \sqrt[]{7}+ 2
Temos portanto que \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
\sqrt[]{7}+ 2 é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} com y > 1
De \sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} decorre que\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}
\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}
resumindo y = \sqrt[]{7}+ 2
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4  +  \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}

Note que x = y = \sqrt[]{7}+ 2, se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = \sqrt[]{7}+ 2 e encontrariamos z = \sqrt[]{7}+ 2, e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa \sqrt[]{7} será:
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar
ivanfx
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Re: Frações Contínua

Mensagempor rhodry » Qui Nov 17, 2011 17:03

ivanfx escreveu:exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar \sqrt[]{7}, a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} com x > 1
De \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} decorre que:\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}
x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2} racionalizando teremos: x = \sqrt[]{7}+ 2
Temos portanto que \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
\sqrt[]{7}+ 2 é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} com y > 1
De \sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} decorre que\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}
\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}
resumindo y = \sqrt[]{7}+ 2
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4  +  \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}

Note que x = y = \sqrt[]{7}+ 2, se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = \sqrt[]{7}+ 2 e encontrariamos z = \sqrt[]{7}+ 2, e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa \sqrt[]{7} será:
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar
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Re: Frações Contínua

Mensagempor rhodry » Qui Nov 17, 2011 17:05

Olá Colega, estou grato pela dica que vc, me deu,,,, ajudou me muito... consegui esclarecer minhas dúvidas .abraço
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Re: Frações Contínua

Mensagempor Rosana Vieira » Sex Nov 18, 2011 12:40

olá como eu faço para encontra as 3 primeiras frações reduzidas de √5
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Re: Frações Contínua

Mensagempor ivanfx » Sex Nov 18, 2011 12:58

Rosana Vieira escreveu:olá como eu faço para encontra as 3 primeiras frações reduzidas de √5

A equação reduzida você trabalha com a resposta que você obteve quando encontrou a continua, vou utilizar a contínua que calculei, só não irei fazer todos os calculos porque só tenho 15 minutos de intervalo.
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}
a primeira fração reduzida seria calcular2 + \frac{1}{4 }

a segunda fração reduzida seria calcular
2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4}}

e a terceira fração reduzida seria calcular
2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4+ \frac{1}{4}}}

Se calcular essas contas que passei vc obtém as frações reduzidas, caso ainda tenha dúvida avise, voltarei as 15:40 e terei uma aula de folga.
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Re: Frações Contínua

Mensagempor Rosana Vieira » Sex Nov 18, 2011 14:55

Olá se alguém sober como montar a fração continua da √5 me ajuda, pois estou com dúvida
2+1
4 + 1
4 + 1
4 + 1
4 + 1/4

2 + 1
4 + 1
4 + 1/4
não conseguir
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Re: Frações Contínua

Mensagempor Rosana Vieira » Sex Nov 18, 2011 15:01

será que eu fiz certo a fração continua de √5 eu tentei pela √7
√5 = 2+1/x
√5 - 2 = 1/x
x = 1/√5 - 2
x= √5 - 2

√5 - 2 é um número entre 4 e 5, portanto √5 + 2 = 2+ 1/y, y > 2
√5 + 2 = 4 + 1/y
√5 + 2 - 4= 1/y
√5 - 2= 1/y
y= √5 + 2
subs.
√5 = 2+1
4+1/√5 + 2
continuando o processo
w=√5 + 2 e z= √5 + 2
portanto a fração continua será
√5 = 2+ 1
4 + 1
4 + 1
4 + 1
.........
Será isto
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Re: Frações Contínua

Mensagempor ivanfx » Sex Nov 18, 2011 15:14

acredito que tenha encontrado dessa forma
\sqrt[]{5}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}

olha, aprenda a utilizar o editor de fórmulas, não é difícil, assim quando postar equações ou fórmulas fica mais fácil de entender, eu achava que era difícil, mas fui obrigado a aprender em um fórum que participo fora do país, ai administrador consertava pra mim, mas vivia dizendo que não consertaria, ai tentei e ficou mais fácil. Sua resposta está correta sim
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Re: Frações Contínua

Mensagempor Rosana Vieira » Sex Nov 18, 2011 16:54

Será que as 3 primeiras frações continuas de √5 isso
√5 = 2 + 1 (4 + 1/4) seria a primeira

2+ 1 ( 4+ 1/4) = 9/4 segunda

2+ 1(16 + 9/4)= 25/4 terceira
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Re: Frações Contínua

Mensagempor matheus_vitorf » Qua Jul 26, 2017 15:31

ivanfx escreveu:exercício da redefor vou tentar te orientar resolvendo uma outra raiz
Vou pegar \sqrt[]{7}, a primeira coisa é descobrir o resultado da raíz está entre quais números inteiros. evidente que está entre 2 e 3, então escreveremos assim
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} com x > 1
De \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} decorre que:\sqrt[]{7}- 2 = \frac{1}{x}
x = \frac{1}{\sqrt[]{7}- 2} racionalizando teremos: x = \sqrt[]{7}+ 2
Temos portanto que \sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}

Ai tu pega o primeiro resultado obtido, ou seja,
\sqrt[]{7}+ 2 é um número compreendido entre 4 e 5, portanto
\sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} com y > 1
De \sqrt[]{7}+ 2 = 4 + \frac{1}{y} decorre que\sqrt[]{7}+ 2 - 4 = \frac{1}{y}
\sqrt[]{7} - 2 = \frac{1}{y}
resumindo y = \sqrt[]{7}+ 2
Fazendo a substituição no passo 2 teremos
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4  +  \frac{1}{\sqrt[]{7}+ 2}}


Note que x = y = \sqrt[]{7}+ 2, se fossemos continuar o processo de y, encontrariamos w = \sqrt[]{7}+ 2 e encontrariamos z = \sqrt[]{7}+ 2, e assim sucessivamente em um processo infinito. Segue portanto, que a fração contínua que representa \sqrt[]{7} será:
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{4 + \frac{1}{...}}}}
é isso. tente entender, qualquer dúvida volte a perguntar


Olá, e se acontecer de nessa parte, for menor que 1?
\sqrt[]{7}= 2 + \frac{1}{x} com x > 1


Eu comecei a fazer a do \pi:
\pi=3+\dfrac{1}{x} com x>1

\pi-3=\dfrac{1}{x}

x=\dfrac{1}{\pi-3}

\pi=3+\dfrac{1}{\dfrac{1}{\pi-3}}

\dfrac{1}{\pi-3}=7+\dfrac{1}{y}

y=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\pi-3}-7}

y=\pi-\dfrac{22}{7}

\pi=3+\dfrac{1}{7+\dfrac{1}{\pi-\dfrac{22}{7}}}

\pi-\dfrac{22}{7}=0+\dfrac{1}{z}

Dá pra ver que não dá z>1. Como que eu faço?
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?