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Imagem da Função

Imagem da Função

Mensagempor edumstpu » Ter Abr 19, 2011 23:23

Supondo que:
f(x)=\frac{x^2}{x+1}

Preciso determinar a imagem. Conheço o método gráfico de fazer isso. Porém o que procuro é o método analítico de se fazer.

Um exemplo de método analítico é a seguinte expressão:
f(x)=x^2+4

Minha imagem será os reais. Posso utilizar o método da seguinte forma:
Como D=R,
x\geq0 e x<0 (Para elevar ao quadrado, deve ter sinal de superior >)
x^2\geq0 e -x>0
x^2+4\geq0+4 e x^2\geq0 (continua e termina como o do lado esquerdo).
y\geq4


O problema é que já tentei fatorar a primeira função de todas as formas, e não consigo encontrar um jeito de encontrar a imagem dela analiticamente.

Agradeço a ajuda.
Até logo.
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Re: Imagem da Função

Mensagempor LuizAquino » Qua Abr 20, 2011 10:42

Dúvida já respondida pelo colega NMiguel.
Editado pela última vez por LuizAquino em Qui Abr 21, 2011 09:19, em um total de 1 vez.
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Re: Imagem da Função

Mensagempor NMiguel » Qua Abr 20, 2011 21:17

Analiticamente, podemos fazer o seguinte:

Em primeiro lugar, calcular os zeros do denominador. Os zeros do denominador não farão parte da imagem.
x+1=0 <=> x=-1

Em seguida, para calcular a imagem da função basta calcularmos os valores de k para os quais a equação f(x)=\frac{x^2}{x+1}=k tem solução.

f(x)=\frac{x^2}{x+1}=k <=> x^2 = k(x+1) <=> x^2 = kx + k <=> x^2 - kx - k = 0 <=> x = \frac{k +/- \sqrt{k^2+4*k}}{2}

Os valores de k para os quais esta equação não tem solução são os valores tais que k^2+4*k<0 <=> k(k+4)<0 <=> (k<0 e k+4>0) ou (k>0 e k+4<0) <=> (k<0 e k>-4) ou (k>0 e k<-4) <=> -4<k<0

Logo, a imagem da função será y<-4  ou  y>0

Não devemos esquecer que -1 não pertence ao domínio da função e por isso, devemos verificar que o valor que encontramos para x=-1 pertence à imagem.
NMiguel
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)