A uma linguaguem formal, o que você deve ver são os limites que
assume, quando você faz
tender aos valores pré-definidos no domínio; respeitando sempre o comportamento assintótico das curvas.
Por exemplo, na primeira função, fazendo
tender a
, observamos que
tende a
e nota-se que para valroes menores que
, a função é estritamente crescente. Nao basta pegar valores intermediários no intervalo, mas sim os valores limitantes.
O que você deve fazer é analisar cada função passo a passo... Como em todos os casos aparece uma função do segundo grau, a imagem sempre está relacionada com o
Veja :
Para
, se
Imagine essa função com domínio no subconjunto real
. Como se trata de uma função do segundo grau, de concavidade voltada para cima, a imagem irá de
ou do ponto de ordenada mais próximo do
e que tenha abicissa pertencente ao conjunto domínio dessa função particular.
Aplicando a relação do
, temos:
Para esses três casos, é imediato obter o conjunto imagem.
f(x) =
, se
, temos
f(x) = 1, se x = 1 ,
f(x) = 1, se x = -1,
Para os demais casos:
Para
Novamente entenda que o dominio dessa função não é o conjunto real, mas sim os intervalos definidos em cada lei particular.
Perceba que o numerador é constante, então
depende do denominador, assim o quociente tem sempre o mesmo sinal do denominador.
Fazendo o estudo do sinal do denominador, isto é,
, observamos que:
se
ou
e nesses casos a função tem um valor mínimo e cresce até
se
, e nesse caso a funçao apresenta valor minimo quando
o que decorre na imagem ser de
Decorre então que:
Para
, se
Temos
f(x) =
, se -1 < x < 1
Temos
f(x) =
, se 1 < x < 2
Temos
O conjunto imagem da função,como já falei, é a união dos intervalos anteriores e será:
Veja que a função
realmente tem domínio no conjunto real, já que se fizermos a união de todos os "domínios" das subfunções obtemos o conjunto real, de fato. O que ocorre é que
foi definida através de uma composição de leis.