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funções com cálculo de coeficientes

funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor ezidia51 » Qua Mar 28, 2018 22:54

Fiz estes cálculos mas não sei se estão certos

A funçãof(x)=a{x}^{2}+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de f (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a,b e c .
ponto 2 =a{2}^{2}+b.2+c=0
ponto 6=a{6}^{2}=b.6+c=0

ponto 2 =4a+2b+c=0 \frac{-2+-\sqrt[2]{4.4.c}}{2.4}=\frac{-2+-\sqrt[2]{16c}}{8}=\frac{-2+4c}}{8}=c=1 e c=-1
ponto 6=36a+6b+c=0 \frac{-(+6)+-\sqrt[2]{4.36.c}}{2.36}=\frac{-6+-\sqrt[2]{144c}}{72}=\frac{-6+-\sqrt[2]{{2}^{2}.{2}^{2}.{3}^{2}c}}{72}=\frac{-6+-2.2.3\sqrt[2]{c}}{72}=\frac{-6+-12\sqrt[2]{c}}{72}=\frac{6\sqrt[2]{c}}{72}=c=0,08^{\frac{1}{2}} ou c=c=-0,08^{\frac{1}{2}}




Sabendo-se que {x}^{2}-6x+m>0 \forall\in\Re, determine m
\frac{6+-\sqrt[2]{4m}}{2}=\frac{6+-2m}}{2}=\frac{6+2m}{2}=3+2m=m=\frac{-3}{2} ou\frac{6-2m}{2}=3-2m=m=\frac{3}{2}
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor Gebe » Qui Mar 29, 2018 00:42

Ok, antes da resolução em si, algo MUITO IMPORTANTE que talvez tu tenha deixado passar é o conceito de par ordenado. Quando a questão diz (2,6), ela está te dando um par ordenado que pode ser um vertice ou um ponto qualquer da função. O par ordenado é composto por duas coordenadas, X e Y ( ou X e F(X) ), sendo representada na forma (X,Y). Este par nos diz que, para o dado X, a função terá valor F(X) = Y, ou seja, se substituirmos o valor de X por 2, a função terá como resultado F(2) = 6.

Outro conceito importante que tambem esta presente na questão é a ideia de raiz da função. Raiz da função é o numero que quando atribuido a X zera a função, ou seja, se utilizarmos a ideia de par ordenado seria um (X,0) ou F(X) = 0.

Agora para a questão.
Lembre-se que temos uma formula para o vertice da função de 2° grau: Y=-\frac{\Delta}{4a}\;,\:\,X=-\frac{b}{2a}
Utilizaremos esta formula mais abaixo.

Com o par (2,6), temos: 4²a + 2b + c = 6

Com a raiz 5, temos: 5²a + 5b + c = 0

Perceba que temos então 2 equações e 3 incognitas, ou seja, ainda precisamos de mais uma equação para poder resolver o sistema de equações. Vamos então utilizar a formula para a coordenada X do vertice.

x=-\frac{b}{2a}\\
\\
2 = -\frac{b}{2a}\\
\\
-b = 2*2a\\
\\
b = -4a

Perceba que agora podemos substituir "b" nas equações por -4a :
\\
4a+2b+c=6\\
25a+5b+c=0\\
\\
4a+2*(-4a)+c=6\\
25a+5*(-4a)+c=0\\
\\
4a-8a+c=6\\
25a-20a+c=0\\
\\
-4a+c=6\\
5a+c=0\\
\\

Agora precisamos apenas resolver o sistema de 2 equaçoes com 2 incognitas. Podemos fazer isso, por exemplo, subtraindo a equação 1 da equação 2:
\\
-4a+c=6\\
5a+c=0\\
\\
(5a+c)-(-4a+c)=0-6\\
\\
9a = -6\\
\\
a = -\frac{6}{9}\\
\\
a=-\frac{2}{3}

Com o valor do "a", basta substituir nas outras equações para achar "b" e "c"
\\
5a+c=0\\
\\
5*(-\frac{2}{3})+c=0\\
\\
c = \frac{10}{3}\\
\\

\\
b=-4a\\
\\
b=-4*(-\frac{2}{3})\\
\\
b=\frac{8}{3}

Portanto f(x)=-\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}

A outra questão vou responder em outra msg assim que puder.
Espero ter ajudado, qualquer duvida mande uma msg. Bons estudos.
Gebe
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor Gebe » Qui Mar 29, 2018 01:21

A segunda questão é um pouco mais simples. Para que a função seja sempre maior que 0, todo o grafico da função (toda a parabola) deve estar acima do eixo X das abscissas (eixo horizontal) no plano cartesiano, ou seja, para todo x que substituirmos na função, o resultado será sempre maior que 0.

Como o "a" da função é positivo (vale 1) sabemos que sua concavidade é voltada para cima (forma de sorriso :-D ) e, portanto, o seu vertice será o ponto mais baixo que ela atinge.
Logo podemos utilizar a formula para a coordenada Y do vertice Y=-\frac{\Delta}{4a} para que Y seja sempre maior que 0.

\\
Y=-\frac{\Delta}{4a}\\
\\
Y>0\\
\\
-\frac{\Delta}{4a}>0\\
\\
-\frac{(-6)^2-4*1*m}{4*1}>0\\
\\
-\frac{36-4m}{4}>0\\
\\
-36+4m>0*4\\
\\
4m>36\\
\\
m>\frac{36}{4}\\
\\
m>9

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg. Bons estudos.
Gebe
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor ezidia51 » Qui Mar 29, 2018 17:50

Um super muito obrigado!!!Isso me ajudou muito!!! :y: :y: :y: :y: :y:
ezidia51
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}