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funções com cálculo de coeficientes

funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor ezidia51 » Qua Mar 28, 2018 22:54

Fiz estes cálculos mas não sei se estão certos

A funçãof(x)=a{x}^{2}+bx+c tem vértice no ponto (2,6) e uma raiz no ponto x=5. Determine a expressão de f (ou, em outras palavras, determine os valores dos coeficientes a,b e c .
ponto 2 =a{2}^{2}+b.2+c=0
ponto 6=a{6}^{2}=b.6+c=0

ponto 2 =4a+2b+c=0 \frac{-2+-\sqrt[2]{4.4.c}}{2.4}=\frac{-2+-\sqrt[2]{16c}}{8}=\frac{-2+4c}}{8}=c=1 e c=-1
ponto 6=36a+6b+c=0 \frac{-(+6)+-\sqrt[2]{4.36.c}}{2.36}=\frac{-6+-\sqrt[2]{144c}}{72}=\frac{-6+-\sqrt[2]{{2}^{2}.{2}^{2}.{3}^{2}c}}{72}=\frac{-6+-2.2.3\sqrt[2]{c}}{72}=\frac{-6+-12\sqrt[2]{c}}{72}=\frac{6\sqrt[2]{c}}{72}=c=0,08^{\frac{1}{2}} ou c=c=-0,08^{\frac{1}{2}}




Sabendo-se que {x}^{2}-6x+m>0 \forall\in\Re, determine m
\frac{6+-\sqrt[2]{4m}}{2}=\frac{6+-2m}}{2}=\frac{6+2m}{2}=3+2m=m=\frac{-3}{2} ou\frac{6-2m}{2}=3-2m=m=\frac{3}{2}
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor Gebe » Qui Mar 29, 2018 00:42

Ok, antes da resolução em si, algo MUITO IMPORTANTE que talvez tu tenha deixado passar é o conceito de par ordenado. Quando a questão diz (2,6), ela está te dando um par ordenado que pode ser um vertice ou um ponto qualquer da função. O par ordenado é composto por duas coordenadas, X e Y ( ou X e F(X) ), sendo representada na forma (X,Y). Este par nos diz que, para o dado X, a função terá valor F(X) = Y, ou seja, se substituirmos o valor de X por 2, a função terá como resultado F(2) = 6.

Outro conceito importante que tambem esta presente na questão é a ideia de raiz da função. Raiz da função é o numero que quando atribuido a X zera a função, ou seja, se utilizarmos a ideia de par ordenado seria um (X,0) ou F(X) = 0.

Agora para a questão.
Lembre-se que temos uma formula para o vertice da função de 2° grau: Y=-\frac{\Delta}{4a}\;,\:\,X=-\frac{b}{2a}
Utilizaremos esta formula mais abaixo.

Com o par (2,6), temos: 4²a + 2b + c = 6

Com a raiz 5, temos: 5²a + 5b + c = 0

Perceba que temos então 2 equações e 3 incognitas, ou seja, ainda precisamos de mais uma equação para poder resolver o sistema de equações. Vamos então utilizar a formula para a coordenada X do vertice.

x=-\frac{b}{2a}\\
\\
2 = -\frac{b}{2a}\\
\\
-b = 2*2a\\
\\
b = -4a

Perceba que agora podemos substituir "b" nas equações por -4a :
\\
4a+2b+c=6\\
25a+5b+c=0\\
\\
4a+2*(-4a)+c=6\\
25a+5*(-4a)+c=0\\
\\
4a-8a+c=6\\
25a-20a+c=0\\
\\
-4a+c=6\\
5a+c=0\\
\\

Agora precisamos apenas resolver o sistema de 2 equaçoes com 2 incognitas. Podemos fazer isso, por exemplo, subtraindo a equação 1 da equação 2:
\\
-4a+c=6\\
5a+c=0\\
\\
(5a+c)-(-4a+c)=0-6\\
\\
9a = -6\\
\\
a = -\frac{6}{9}\\
\\
a=-\frac{2}{3}

Com o valor do "a", basta substituir nas outras equações para achar "b" e "c"
\\
5a+c=0\\
\\
5*(-\frac{2}{3})+c=0\\
\\
c = \frac{10}{3}\\
\\

\\
b=-4a\\
\\
b=-4*(-\frac{2}{3})\\
\\
b=\frac{8}{3}

Portanto f(x)=-\frac{2}{3}x^2+\frac{8}{3}x+\frac{10}{3}

A outra questão vou responder em outra msg assim que puder.
Espero ter ajudado, qualquer duvida mande uma msg. Bons estudos.
Gebe
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor Gebe » Qui Mar 29, 2018 01:21

A segunda questão é um pouco mais simples. Para que a função seja sempre maior que 0, todo o grafico da função (toda a parabola) deve estar acima do eixo X das abscissas (eixo horizontal) no plano cartesiano, ou seja, para todo x que substituirmos na função, o resultado será sempre maior que 0.

Como o "a" da função é positivo (vale 1) sabemos que sua concavidade é voltada para cima (forma de sorriso :-D ) e, portanto, o seu vertice será o ponto mais baixo que ela atinge.
Logo podemos utilizar a formula para a coordenada Y do vertice Y=-\frac{\Delta}{4a} para que Y seja sempre maior que 0.

\\
Y=-\frac{\Delta}{4a}\\
\\
Y>0\\
\\
-\frac{\Delta}{4a}>0\\
\\
-\frac{(-6)^2-4*1*m}{4*1}>0\\
\\
-\frac{36-4m}{4}>0\\
\\
-36+4m>0*4\\
\\
4m>36\\
\\
m>\frac{36}{4}\\
\\
m>9

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg. Bons estudos.
Gebe
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Re: funções com cálculo de coeficientes

Mensagempor ezidia51 » Qui Mar 29, 2018 17:50

Um super muito obrigado!!!Isso me ajudou muito!!! :y: :y: :y: :y: :y:
ezidia51
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D