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Imagem da Função

Imagem da Função

Mensagempor matheus_frs1 » Sáb Mai 21, 2016 21:03

Como eu faço para determinar algebricamente a imagem de uma função? O domínio eu sei q tem algumas condições de existência, como não poder ter denominador nulo e raiz de índice par de número negativo. Mas determinar a imagem eu não sei, só através de gráfico, mas através de gráfico não consegui com essa função aqui.

f(x)=\frac{{x}^{2}-x-6}{x-3}

Como determinar algebricamente a imagem desta função, por favor.

Obrigado, galera.
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Re: Imagem da Função

Mensagempor e8group » Seg Mai 23, 2016 10:40

Depende das ferramentas que você dispõem .. Para uma classe de funções , vários conceitos topológicos , como compacidade , conexidade são preservados . Assim , e.g, uma função f : [a,b] \subset \mathbb{R} \longrightarrow   \mathbb{R} não pode ter imagem ilimitada , salve em alguns casos onde esta função não é contínua . No caso contínumo a imagem de f será precisamente um intervalo fechado .. Um resultado útil é o seguinte : Dada qualquer f : A \longrightarrow B (não necessariamente uma bijeção ) fazemos corresponde uma bijeção g : D \longrightarrow  f(A) dada por g(x) = f(x) , onde f(A) é imagem de f ( a que queremos determinar ) e D  \subset A é obtido do seguinte modo :

Modo 1 : Usando relação de equivalencia

Dado dois elementos x,y em A, vamos dizer que eles são equivalentes(notação x \sim y se f(x) = f(y) . Esta relação é o que chamamos de relação de equivalence em A . (Ela é reflexiva , simétrica e transitiva ) . Dado x \in A definimos [x]_{\sim} := \{ y \in A   ;     f(y) = f(x) \} . Um bom exercício (o qual pode verificar para p qualqer relação de equivalence ) é que duas classes quaisquer [x]_{\sim} , [y]_{\sim} são disjuntas ou são iguais . Então para cada classe [x]_{\sim} escolhemos um representante digamos x ... E assim ,D pode ser obtido como o subconunto de A constituidos destes elemenos x .. Então g será injetiva logo uma bijeção e portanto g admirtira uma inversa g^{-1} e assim sua imagem pode ser efetivamente determinada que e é preisamente o domínio da inversa ... Este seria uma forma 'algebrica' ..as demais são mais 'analiticas ' ... I 'm sorry .... Estou sem tempo e nao conseguir redigir tudo proprieamenrte .. E o modo 2 é a mesma ideia porem mais informal ..
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Re: Imagem da Função

Mensagempor matheus_frs1 » Qui Jun 16, 2016 21:07

Nossa, serei sincero... entendi muito pouco da explicação. Mas pelo que vejo é melhor usar uma análise para determinar a imagem, já que achar o domínio da função inversa é mais trabalhoso.

Obrigado, Santiago.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.