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Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Sáb Mar 27, 2010 15:33

Seja f uma função real. Mostre que existem uma função par 'g' e uma função ímpar 'h' tal que f(x)= g(x) + h(x), \forallx \epsilon Domínio de f. Em particular, determine 'g' e 'h' no caso em que f(x)= ln({x}^{2}+x+1)

Iniciei esse ano meu curso de Ciencias Exatas e o professor de cálculo diferencial pediu que levássemos a resposta dessa questão e expuséssemos ela em sala de aula para toda a turma, resultado: por mais que eu tente quando chega no meio da questão eu me enrolo toda. Gostaria de ser ajudada se possível!

Desde já agradeço!
Taah
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Elcioschin » Sáb Mar 27, 2010 23:27

Vou tentar iniciar

f(x) = ln(x² + x + 1) ----> x² + x + 1 = e^f(x)

x² + x + 1 = e^[g(x) + h(x)] ----> (x² + 2x + 1) - x = [e^g(x)]*[e^h(x)] -----> (x + 1)² - (Vx)² = [e^g(x)]*[e^h(x)] ----> (x + 1 + Vx)*(x + 1 - Vx) = [e^g(x)]*[e^h(x)]

x + 1 + Vx = e^g(x) -----> g(x) = ln(x + 1 + Vx)

x + 1 - Vx = e^h(x) -----> h(x) =ln*(x + 1 - Vx)

Falta provar que uma das funções é ímpar e a outra par.
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Dom Mar 28, 2010 12:16

Vlw Elcioschin!
Ajudou mto :)
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Re: Função real definida pela soma de uma função par c/uma ímpar

Mensagempor Taah » Dom Mar 28, 2010 13:21

A prova de que g(x) é par:
g(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}
g(-x)= \frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}= \frac{f(-x)+f(x)}{2}= \frac{f(x)+f(-x)}{2}= g(x)
g(-x)= g(x)

A prova de que h(x) é ímpar:
h(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2}
h(-x)= \frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}= \frac{f(-x)-f(x)}{2}= \frac{-(-f(-x)+f(x))}{2}=\frac{ -(f(x)-f(-x)))}{2}= -h(x)
h(-x)= -h(x)

CORRETO?????

Agora, porque g(x) é uma função definida por:
g(x)= \frac{g(x)+g(-x)}{2}

e h(x) é uma função definida por:
h(x)= \frac{h(x) -h(-x)}{2}

????????????

E não por:
g(-x)= g(x)

e...

h(-x)= -h(x)

??????????????
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}