[DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

por **phsalves** » Qua Dez 10, 2014 20:24

Olá amigos. É o meu primeiro post no fórum, então se formatei alguma coisa errada, me avisem, por favor

O Problema é o seguinte:

A equação da superfície de uma montanha é:

z= f(x,y) = 1200 - 3x^2 - 2y^2

onde as distâncias são medidas em metros.

Suponha que os pontos do eixo positivo de x estão a leste, e os pontos do eixo positivo de y ao norte.
Suponha também que um alpinista está no ponto (-10,5,850)

.

a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada?
Calculei o grad(f)

no ponto dado e pela fórmula de derivadas direcionais, deduzi que a direção seria oposta ao do gradiente.

O gradiente deu (60,-20). A direção seria oposta a desse vetor.

b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo? Qual é a sua velocidade?

Fiz a derivada direcional na direção v=(0,1)

Pra achar a velocidade.

Pela resposta anterior, ele estaria subindo, com V=60 m/u.t

c) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano?

Eu nem sei como fazer essa. Acho que deve ter algo a ver com a curva de nível em que o alpinista estaria, que é

3x^2 + 2y^2 = 350

Mas como achar a direção?

Obrigado, desculpem se ficou grande :-D

por **adauto martins** » Qui Dez 11, 2014 15:30

$a)f(x,y)=1200-3{x}^{2}-2{y}^{2}\Rightarrow \nabla f(x,y)=f'{(x,y)}_{u}= (\partial f/\partial x).{u}_{x}+(\partial f/\partial y).{u}_{y}$ $=-6x.{u}_{x}-4y.{u}_{y}=(-6x,-4y)$
seja $H=(cos\theta,sen\theta)/\left|H \right|=1\Rightarrow \nabla f.H=0$ ,tomara a direçao de maior crescimento,e claro maior inclinaçao da montanha...logo $\nabla f.H=0\Rightarrow (-6x,-4y).(cos\theta,sen\theta)=0\Rightarrow -6xcos\theta -4ysen\theta=0$ ... $tg\theta=-(6/4)(x/y)$ $\Rightarrow \theta=artg(-3/2)(x/y)$ ,se tomarmos x,y dos vetores (1,0),(0,1),entao $\Rightarrow \theta=artg(-3/2)$ , $\theta\simeq -72º$ ,q. sera um ponto a noroeste do sistema...se tomarmos os pontos(-10,5) $\theta =arctg(-3.(-10)/(2.5))=arctg(3)\simeq 72º$ nordeste do sistema...
b)o alpista estara descendo...pois,como calculamos a direçao q. a montanha"cresce" e a direçao noroeste...
$v=\left|\nabla f(-10,5) \right|=\left|(60,20) \right|=\sqrt[]{({60})^{2}+(({-20})^{2}}$ $\simeq 63 m/t$
c) depois resolvo...

por **adauto martins** » Sáb Dez 13, 2014 10:56

um acrescimo na questao a)
como calculei $tg\theta =-2/3...$ em relaçao a base da montanha,onde podemos tomar os vetores (1,0),(0,1) $\Rightarrow tg\theta\prec 0\Rightarrow$ ,a direçao do gradiente estara no terceiro e quarto quadrantes do sistema proposto,e como calculamos $\theta \simeq -72º$ (direçao sudeste) e tambem(esqueci de colocar ( $\theta = 180-72=108º$ direçao noroeste...entao a montanha "cresce" nas direçoes sudeste(-72º)e noroeste(108º)do sistema...
c)qto a percorrer um caminho plano sera nos pontos $f(x,y)=(120-c)-3{x}^{2}-2{y}^{2}$ ,onde c sera uma curva de nivel da montanha,e onde o vetor gradiente e perpendicular ao vetor unitario do gradiente de f(x,y),ou seja $\nabla f(x,y).{u}_{z}=0$ ,onde ${u}_{z}=(6/\sqrt[]{52},4/\sqrt[]{52})$ ...

por **phsalves** » Sáb Dez 13, 2014 11:55

Obrigado pela resposta!

Eu não entendi o vetor H que você usou no item a.
Na c o alpinista então percorreria um caminho sempre perpendicular ao gradiente. Entendi.

Vlw mesmo XD

por **adauto martins** » Sáb Dez 13, 2014 12:08

$H=(cos\theta,sen\theta)$ e tal q. $\left|H \right|=\sqrt[]{{cos\theta}^{2}+{sen\theta}^{2}}=1$ ,H e um vetor q. busca uma direçao(um angulo $\theta$ no sistema de coordenadas)e uma maneira de encontrar a direçao do gradiente,qdo o gradiente e o vetor unitario do gradiente alinham-se,entao e a direçao de maior crescimento...
qto a c) numa curva de nivel o valor do gradiente nao muda...

por **phsalves** » Sáb Dez 13, 2014 12:31

Ah, entendi. Não conhecia essa jogada desse vetor H, obrigado XD. É como se fosse uma coordenada polar, né?

por **adauto martins** » Qua Dez 17, 2014 15:43

aqui uma correçao...o ponto 108º a noroeste eh o valor minimo,oposto ao maximo q. eh 72º sudeste...

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