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[DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

[DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor phsalves » Qua Dez 10, 2014 20:24

Olá amigos. É o meu primeiro post no fórum, então se formatei alguma coisa errada, me avisem, por favor :)

O Problema é o seguinte:

A equação da superfície de uma montanha é:

z= f(x,y) = 1200 - 3x^2 - 2y^2

onde as distâncias são medidas em metros.

Suponha que os pontos do eixo positivo de x estão a leste, e os pontos do eixo positivo de y ao norte.
Suponha também que um alpinista está no ponto (-10,5,850).


a) Qual é a direção da parte que tem a inclinação mais acentuada?
Calculei o grad(f) no ponto dado e pela fórmula de derivadas direcionais, deduzi que a direção seria oposta ao do gradiente.

O gradiente deu (60,-20). A direção seria oposta a desse vetor.


b) Se o alpinista se mover na direção leste, ele estará subindo ou descendo? Qual é a sua velocidade?

Fiz a derivada direcional na direção v=(0,1)Pra achar a velocidade.

Pela resposta anterior, ele estaria subindo, com V=60 m/u.t


c) Em que direção ele estará percorrendo um caminho plano?

Eu nem sei como fazer essa. Acho que deve ter algo a ver com a curva de nível em que o alpinista estaria, que é

3x^2 + 2y^2 = 350

Mas como achar a direção?


Obrigado, desculpem se ficou grande :-D
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor adauto martins » Qui Dez 11, 2014 15:30

a)f(x,y)=1200-3{x}^{2}-2{y}^{2}\Rightarrow \nabla f(x,y)=f'{(x,y)}_{u}=
(\partial f/\partial x).{u}_{x}+(\partial f/\partial y).{u}_{y}=-6x.{u}_{x}-4y.{u}_{y}=(-6x,-4y)
seja H=(cos\theta,sen\theta)/\left|H \right|=1\Rightarrow  \nabla f.H=0,tomara a direçao de maior crescimento,e claro maior inclinaçao da montanha...logo \nabla f.H=0\Rightarrow (-6x,-4y).(cos\theta,sen\theta)=0\Rightarrow 
-6xcos\theta -4ysen\theta=0...tg\theta=-(6/4)(x/y)\Rightarrow \theta=artg(-3/2)(x/y),se tomarmos x,y dos vetores (1,0),(0,1),entao \Rightarrow \theta=artg(-3/2),\theta\simeq -72º,q. sera um ponto a noroeste do sistema...se tomarmos os pontos(-10,5)\theta =arctg(-3.(-10)/(2.5))=arctg(3)\simeq 72ºnordeste do sistema...
b)o alpista estara descendo...pois,como calculamos a direçao q. a montanha"cresce" e a direçao noroeste...
v=\left|\nabla f(-10,5) \right|=\left|(60,20) \right|=\sqrt[]{({60})^{2}+(({-20})^{2}}\simeq 63 m/t
c) depois resolvo...
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor adauto martins » Sáb Dez 13, 2014 10:56

um acrescimo na questao a)
como calculei tg\theta =-2/3...em relaçao a base da montanha,onde podemos tomar os vetores (1,0),(0,1)\Rightarrow tg\theta\prec 0\Rightarrow,a direçao do gradiente estara no terceiro e quarto quadrantes do sistema proposto,e como calculamos \theta \simeq -72º(direçao sudeste) e tambem(esqueci de colocar (\theta = 180-72=108ºdireçao noroeste...entao a montanha "cresce" nas direçoes sudeste(-72º)e noroeste(108º)do sistema...
c)qto a percorrer um caminho plano sera nos pontos f(x,y)=(120-c)-3{x}^{2}-2{y}^{2},onde c sera uma curva de nivel da montanha,e onde o vetor gradiente e perpendicular ao vetor unitario do gradiente de f(x,y),ou seja \nabla f(x,y).{u}_{z}=0,onde {u}_{z}=(6/\sqrt[]{52},4/\sqrt[]{52})...
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor phsalves » Sáb Dez 13, 2014 11:55

Obrigado pela resposta!

Eu não entendi o vetor H que você usou no item a.
Na c o alpinista então percorreria um caminho sempre perpendicular ao gradiente. Entendi.

Vlw mesmo XD
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor adauto martins » Sáb Dez 13, 2014 12:08

H=(cos\theta,sen\theta) e tal q. \left|H \right|=\sqrt[]{{cos\theta}^{2}+{sen\theta}^{2}}=1,H e um vetor q. busca uma direçao(um angulo \theta no sistema de coordenadas)e uma maneira de encontrar a direçao do gradiente,qdo o gradiente e o vetor unitario do gradiente alinham-se,entao e a direçao de maior crescimento...
qto a c) numa curva de nivel o valor do gradiente nao muda...
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor phsalves » Sáb Dez 13, 2014 12:31

Ah, entendi. Não conhecia essa jogada desse vetor H, obrigado XD. É como se fosse uma coordenada polar, né?
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Re: [DERIVADAS PARCIAIS/GRADIENTE] Problema.

Mensagempor adauto martins » Qua Dez 17, 2014 15:43

aqui uma correçao...o ponto 108º a noroeste eh o valor minimo,oposto ao maximo q. eh 72º sudeste...
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D