exercicio proposto-IME 1978

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Mensagempor adauto martins » Ter Out 07, 2014 12:00

dados os arcos A,B,Ce D,todos do primeiro quadrante,e tais q.:
tgA=1/3,tgB=1/5,tgC=1/7 e tgD=18, verificar se A+B+C+D=\pi/4
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Re: exercicio proposto-IME 1978

Mensagempor adauto martins » Sáb Out 11, 2014 14:48

tg(A+B)=(tgA+tgB/(1-tgA.tgB))=(1/3+(1/5))/(1-(1/3)(1/5))=4/7
tg(C+D)=(tgC+tgB/(1-tgC.tgB))=(1/7+(1/8))/(1-(1/7)(1/8))=3/11logo:
tg(A+B+C+D)=4/7+(3/11)/(1-(4/7)(3/11))=1,como todos os arcos estao no prim.quadrante ,tg(...)\succ0...temos:
tg(A+B+C+D)=1\RightarrowA+B+C+D=\pi/4...
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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