[Paridade de Funções] - Função Par, dúvida

por **joseefreire** » Sáb Out 04, 2014 21:30

Olá, estou com uma dúvida em um problema do ITA.

O Polinômio de grau 4
$(a+2b+c){x}^{4}+(a+b+c){x}^{3}-(a-b){x}^{2}+(2a-b+c)x+2(a+c)$ .
Com a,b,c $\epsilon R$ , é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a

A)3+ $\sqrt[2]{3}$
B)2+3 $\sqrt[2]{3}$
C)2+ $\sqrt[2]{2}$
D)1+2 $\sqrt[2]{2}$
E)2+2 $\sqrt[2]{2}$

Vi uma resolução deste exercício, e nela, os coeficientes dos monômios de grau ímpar foram igualados a zero pelo motivo
de o polinômio ser uma função par. Não entendi o porquê disso, alguém poderia me ajudar?

por **e8group** » Dom Out 05, 2014 01:25

" Vi uma resolução deste exercício, e nela, os coeficientes dos monômios de grau ímpar foram igualados a zero pelo motivo
de o polinômio ser uma função par. Não entendi o porquê disso, alguém poderia me ajudar? "

Nota : Uma função $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ é ditar ser par ( respct . impar ) se f(x) = f(-x)

para todo x (respct . -f(x) = f(-x)

p/ todo x ) .

Seja p(x)

qualquer polinômio , i.e,

$p(x) = a_0 + a_1x + \hdots + a_n x^n = \sum_{ i : \text{par}} a_i x^i + \sum_{ i : \text{impar} } a_i x^i$
(a 1ª soma estende sobre todos índices pares compreendidos entre 0 e n e a 2ª sobre todos índices ímpares entre 0 e n ) .

Suponha p par , i.e , p(x) = p(-x) para todo x .Temos ,

$p(-x) = \sum_{ i : \text{par}} a_i (-x)^i + \sum_{ i : \text{impar} } a_i (-x)^i = \sum_{ i : \text{par}} a_i x^i - \sum_{ i : \text{impar} } a_i x^i$ , logo

$2p(x) = p(x) + p(-x) = \sum_{ i : \text{par}} a_i x^i + \sum_{ i : \text{impar} } a_i x^i + \sum_{ i : \text{par}} a_i x^i - \sum_{ i : \text{impar} } a_i x^i = 2 \sum_{ i : \text{par}}a_ix^i$

e assim o p(x) se resume a soma de todos os termos a_i x^i