Teorema ponto fixo (Livro do Thomas Ed Pearson)

por **Luiz Augusto Prado** » Ter Dez 22, 2009 16:02

Olá Pessoal!
Comprei o livro do George B. Thomas 11ª edição da editora pearson.
Olhem esta questão.
seção 2.6 exercicio 59:
Um teorema de ponto fixo
Suponha que a função f(x) seja continua no espaço fechado [0,1] e que 0 $\leq$ f(x) $\leq$ 1 para x em [0,1]. Mostre que deve existir um número c em [0,1] tal que f(c)=c (cé chamado ponto fixo de f).

Como é possivel existir um f(c)=c sem definir a função? Se a função fosse f(x)= -x^2+2x

, a função seria contínua para x entre [0,1] e f(x) entre [0,1], mas não existe f(c)=c alem dos pontos x=0 e x=1. Para que existisse f(c)=c diferente de 0 e 1, devemos achar o x de f(x) que toque a reta dada pela função g(x)=x. A única forma que consigo fazer para que exista obrigatoriamente pelo menos um f(c)=c é afirmando que f(x) seja continua e decrescente para x entre [0,1]. Cometi algum erro de interpretação? O que esta questão está pedindo?

por **Elcioschin** » Qua Dez 23, 2009 09:14

Considere a função y = senx
Considere agora a função y = 1 + senx

Esta função é igual à primeira deslocada 1 para cima. Nela, a partes inferiores da senóide tangenciam o eixo das abcissas.
Considere apenas dois pontos de tangência, marque 0,5 no 1º ponto de tangência e 1 no segundo ponto e tangência.
Marque 1 na ordenada máxima desta função.

Esqueça agora que é uma função seno.
Esta função (sem nome) varia entre 0 e 1 para x entre 0 e 1
Note que, para x = 0 ----> f(x) = 0 ----> Neste caso c = 0 -----> f(c) = c

por **Luiz Augusto Prado** » Qua Dez 23, 2009 15:07

Você definiu a função. Pelo que entendi do exercício qualquer função que toque g(x)=x tem este exato x como um ponto fixo.

Para f(x) = 1 + sen(x) existe um ponto x entre ( pi/2, pi ) onde f(x) = x. E este é um ponto fixo de f(x). Para x entre ( pi/2, pi ) a função é decrescente. O que não entendi é se o teorema deve ser válito para todo o tipo de função. A questão do exercício parece afirmar isso. Onde encontro mais sobre o teorema do ponto fixo? A wikipédia e outros textos da Internet falam como se já soubéssemos o que seja isso.

Elcioschin escreveu:Considere apenas dois pontos de tangência, marque 0,5 no 1º ponto de tangência e 1 no segundo ponto e tangência.
Marque 1 na ordenada máxima desta função.

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0,5pi e 1pi?