LIMITES LATERAIS

por **Fabio Cabral** » Qua Out 06, 2010 11:48

Olá, pessoal.
Esse é meu primeiro post nesse fórum. Se eu estiver fazendo alguma coisa errada por favor me avisem, não tive tempo de ler as regras de postagem.
Recebi uma lista com 60 questões que estou tendo dificuldades, mas com a ajuda de vocês, creio que conseguirei tranquilamente.

Eu estou com dúvida no seguinte.
$\lim_{x\rightarrow0} \frac{3x}{({x}^{4}-{4x}^{3}+{x}^{2})}$

o enunciado diz: Aplicando propriedades de limites e algébricas, calcule cada limite abaixo e avalie sua existência, dizendo se eles existem ou não.

DÚVIDA: Terei que fatorar esse polinômino, correto ? Terei que achar os limites laterais antes ( 0+, 0-) correto ?

pelos meus cálculos $\lim_{x\rightarrow0+} = \infty$ e $\lim_{x\rightarrow0-} = -\infty$ . Isso está correto ?

Att, Fábio Cabral.

ps.: Ingressei neste fórum pois aqui, as pessoas não dão as respostas prontas, mas ensinam

por **MarceloFantini** » Qua Out 06, 2010 12:19

Olá Fábio, não precisa encontrar as raízes. Veja:

$\lim_{x \to 0} \frac{x^4 -4x^3 +x^2}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(x^2 -4x +1)}{3x}$

Para $x \neq 0$ :

$\lim_{x \to 0} x(x^2 -4x +1) = 0$

Isso mostra que dos dois lados o limite existe e é zero.

por **Fabio Cabral** » Qua Out 06, 2010 12:38

ôpa, já corrigi o tópico.

Amigo, o professor resolvia substituindo o "0" no polinômino.
isso causa uma indeterminação, correto?

A gente tinha que tentar sair dessa indeterminação..
eu não sei explicar corretamente, mas a monitora afirmou que isso era igual a + $\infty$ .

Vou postar aqui o jeito que foi feito pra você analisar:

$\lim_{x\rightarrow0} \frac{3x}{({x}^{4}-{4x}^{3}+{x}^{2})} = \lim_{x\rightarrow0} \frac{3}{({x}^{3}-{4x}^{2}+x)} =\lim_{x\rightarrow0} \left[3 \right].\left[ \frac{1}{({x}^{3}-{4x}^{2}+x)} \right] = +\infty$

Compreendeu?

Abraços
*-)

por **MarceloFantini** » Qua Out 06, 2010 12:58

Bom, agora que está corrigido então faz sentido que seja infinito. Veja que, quando x se aproxima de 0, o denominador se aproxima de 0. Um denominador muito pequeno gera uma um número muito grande, uma vez que é constante em cima. Para analisar o sinal, agora sim faz sentido fatorar:

$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x^4 -4x^3 +x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x^3 -4x^2 +x} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{x(x-2 + \sqrt{3})(x-2 - \sqrt{3})}$

Quando $x \to 0^-$ , o produto $x(x-2 +\sqrt{3})(x -2 - \sqrt{3})$ é negativo, logo $\lim = - \infty$ .

Quando $x \to 0^+$ , o produto $x(x-2+\sqrt{3})(x-2-\sqrt{3})$ é positivo, logo $\lim = +\infty$ .

Como os limites laterais não coincidem, o limite não existe.