Imagem da Função

por **matheus_frs1** » Sáb Mai 21, 2016 21:03

Como eu faço para determinar algebricamente a imagem de uma função? O domínio eu sei q tem algumas condições de existência, como não poder ter denominador nulo e raiz de índice par de número negativo. Mas determinar a imagem eu não sei, só através de gráfico, mas através de gráfico não consegui com essa função aqui.

$f(x)=\frac{{x}^{2}-x-6}{x-3}$

Como determinar algebricamente a imagem desta função, por favor.

Obrigado, galera.

por **e8group** » Seg Mai 23, 2016 10:40

Depende das ferramentas que você dispõem .. Para uma classe de funções , vários conceitos topológicos , como compacidade , conexidade são preservados . Assim , e.g, uma função $f : [a,b] \subset \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ não pode ter imagem ilimitada , salve em alguns casos onde esta função não é contínua . No caso contínumo a imagem de f será precisamente um intervalo fechado .. Um resultado útil é o seguinte : Dada qualquer $f : A \longrightarrow B$ (não necessariamente uma bijeção ) fazemos corresponde uma bijeção $g : D \longrightarrow f(A)$ dada por g(x) = f(x)

, onde

é imagem de

( a que queremos determinar ) e $D \subset A$ é obtido do seguinte modo :

Modo 1 : Usando relação de equivalencia

Dado dois elementos x,y

em A, vamos dizer que eles são equivalentes(notação $x \sim y$ se f(x) = f(y)

. Esta relação é o que chamamos de relação de equivalence em A . (Ela é reflexiva , simétrica e transitiva ) . Dado $x \in A$ definimos $[x]_{\sim} := \{ y \in A ; f(y) = f(x) \}$ . Um bom exercício (o qual pode verificar para p qualqer relação de equivalence ) é que duas classes quaisquer $[x]_{\sim} , [y]_{\sim}$ são disjuntas ou são iguais . Então para cada classe $[x]_{\sim}$ escolhemos um representante digamos

... E assim ,D pode ser obtido como o subconunto de A constituidos destes elemenos x .. Então g será injetiva logo uma bijeção e portanto g admirtira uma inversa $g^{-1}$ e assim sua imagem pode ser efetivamente determinada que e é preisamente o domínio da inversa ... Este seria uma forma 'algebrica' ..as demais são mais 'analiticas ' ... I 'm sorry .... Estou sem tempo e nao conseguir redigir tudo proprieamenrte .. E o modo 2 é a mesma ideia porem mais informal ..

por **matheus_frs1** » Qui Jun 16, 2016 21:07

Nossa, serei sincero... entendi muito pouco da explicação. Mas pelo que vejo é melhor usar uma análise para determinar a imagem, já que achar o domínio da função inversa é mais trabalhoso.

Obrigado, Santiago.

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