[Função] Domínio da função sqrt(sen(2x)) em R?

por **Ruan Petterson** » Sex Nov 15, 2013 19:25

Primeiro, para simplificar, determinei g(x)=sen(2x)

.

Segundo, determinei $f(x)=\sqrt{g(x)}$ .

Bom, por via de regra g(x)>0

, pois não existe raiz quadrada de números negativos em $\mathbb{R}$ .

Portanto sen(2x)>0

. Mas quando isso ocorre?

Vi no Wolfram|Alpha que seria quando $\{ \pi k \leq x \leq \frac{1}{2} ( 2 \pi k + \pi ) , k \in \mathbb{Z} \}$ e, portanto, este seria o dominío de

.

Mas como chega-se nesse resultado? O que é o

?

Obrigado desde já!

por **e8group** » Sex Nov 15, 2013 23:56

Lembre-se que a função seno é periódica de período fundamental $2\pi$

$sin(\theta +2 k \pi ) = sin(\theta)$ para qualquer número inteiro

.A seguir utilizaremos esta propriedade para determinar o conjunto dos pontos $\theta \in \mathbb{R}$ para os quais a função $sin : \theta \mapsto sin(\theta)$ é maior ou igual a zero .

Observe inicialmente que $sin(\theta) \geq 0$ para $\pi \geq \theta \geq 0$ .Como ,

$sin(\theta +2 k \pi ) = sin(\theta)$ (k inteiro ) e $\pi \geq \theta \geq 0$ implica

$\pi +2 k \pi \geq \theta + 2 k \pi \geq 2 k \pi$ . Variando

em $\mathbb{Z}$ obteremos uma sequência de intervalos $... I_{-1} = [-2\pi, - \pi] , I_{0} = [0,\pi] , I_{1} = [2\pi,3\pi], ....$ . Assim , concluímos

$sin\left(\bigcup_{\lambda \in \mathbb{Z}} I_\lambda \right) = [0,1]$ .

No exercício dado , basta então tomar $\theta = 2x$ , daí segue que

$\frac{\pi +2 k \pi}{2} \geq x \geq k \pi$ .

Portanto o domínio da função dada será $\{\frac{\pi +2 k \pi}{2} \geq x \geq k \pi : k\in \mathbb{Z} \} = \bigcup_{k\in \mathbb{Z} } \left[\frac{\pi +2 k \pi}{2} , k\pi\right]$