[Função quadrática] Como resolver

por **jason013** » Dom Jun 02, 2013 22:38

Prezados,

Estou encontrando dificuldades de interpretar e resolver a seguinte questão.

Dada a função demanda x= -1/3p + 80 e a função custo total C(x)= 60x +150.

a) Obtenha o valor de x que maximiza a receita.
b) Obtenha L(x);
c) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro.
d) Obtenha L(p);
e) Qual deve ser o preço para o lucro ser máximo?

Grato pessoal..

por **temujin** » Seg Jun 03, 2013 13:41

Sugiro que vc escreva as funções e aí faça a maximização:

a) Receita é dada por p.x: $p(-\frac{1}{3}p+80) = -\frac{p^2}{3}+80p$

Para maximizar, vc precisa encontrar os pontos críticos e testar se é mínimo ou máximo. Pela forma da função, fica claro que será um máximo (é uma parábola côncava). Derivando e igualando a zero (ou seja, achando a função receita marginal):

$RMg = -\frac{2}{3}p+80 = 0 \Rightarrow p=\frac{3.80}{2} = 120$

Basta resolver para p e substituir na equação de demanda:

$x = -\frac{120}{3}+80 = 40$

b) Lucro é RT - CT.
Basta substituir os valores de x: px - c(x) = 120.40 - 60.40-150 = 2250

c) A condição de lucro máximo é quando a RMg é igual ao CMg. Reescreva RMg em função de x.

$x = -\frac{1}{3}p+80 \Rightarrow p=-3x+240 \Rightarrow RT = (-3x+240)x=-3x^2+240x$

RMg = -6x+240

Para obter o custo marginal, da mesma forma que a receita, derive e iguale a zero a função custo. Aí basta igualar as duas funções e resolver para x:

$CMg = 60 \Rightarrow RMg = CMg \Rightarrow -\frac{3}{2}x+80 = 60$

$RMg = CMg \Rightarrow -6x+240 = 60 \Rightarrow x=\frac{180}{6} = 30$

Com isso acho que dá pra concluir, certo?

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